§ 1. Геометрия чисел.

Арифметика (1) как работа с отношениями чисел (т.е. с парами чисел) и (2) как теория пропорциональных отношений, — т.е. преобразований подобия, — легко поддавалась геометрической интерпретации. Геометрическое представление арифметических отношений позволило греческим математикам свободно работать с отношениями несоизмеримых величин: отношение, невыразимое в линейных единицах (диагональ и сторона квадрата), выразимо в “плоских” единицах (квадрат на диагонали вдвое больше исходного) ¹ Возможность оперировать с числами как с линиями, фигурами и телами Впрочем, пифагорейские числа, кажется, изначально мыслились разными по виду, как некие парадигматические формы, фигуры, “схемы”. Первичными видами (началами, элементами) числа были вид четного и вид нечетного. Нечетный вид качественно отличается от четного тем, что подобен неделимой единице, в середине нечетного содержится неделимая единица, тогда как в середине четного — как раз “трещина”, промежуток, пустота между единицами.
Далее, например, арифметическая пропорция (прогрессия) давала ряд чисел (сумм) одной — треугольной — формы. Пифагорейская тетрада это четвертая “степень” треугольной единицы, она содержит 10 единиц и обладает поэтому совершенством единицы, вернувшейся в себя:

Число, выражающееся произведением двух равных чисел, до сих пор называется нами квадратным, мы говорим и о кубических числах, но греческий исток и смысл этих именований забылся, и услышав о треугольных, пятиугольных, продолговатых числах, мы скорее всего удивимся. Между тем, плоским прямоугольным, разносторонним (“гетеромекным”) или продолговатым называлось число, выражающееся произведением двух разных чисел. Фигура “слоя” единиц, которая преобразует число некоторой формы в следующее подобное, [] [53] называется гномоном ². Такие фигурные числа можно представить следующим образом ³

Мы заметили: величины “а-логичные”, невыразимые целочисленными отношениями, вполне выразимы (∙hto…) геометрически. Благодаря Платону, мы знаем, как математик Теодор Киренский и его ученик Теэтет построили общую теорию несоизмеримых чисел («Теэтет» 147d-148b). В основу было положено известное разделение чисел на квадратные и гетеромекные (“разнодлинные” ⁴). Известно, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с его стороной (Ö2). Построив на ней прямоугольник со стороной, равной единице, получим площадь в 2 единицы и диагональ, дающую следующую несоизмеримую (с единицей) величину (Ö3). Следующий аналогичный шаг дает площадь 3 и диагональ 2, соизмеримую с единицей Теэтет показал, что соизмеримы в этом ряду только те отрезки, площади единичных прямоугольников на которых выражается квадратным числом. Если же эти площади выражаются гетеромекным числом (2, 3, 5, 7…), то они своей единицей не измеряются ⁵.
В результате, греческая геометрия также получает совершенно особую форму. Поскольку геометрическая фигура изначально мыслится как геометрический образ числа, проблемы арифметики (т.е. науки об отношениях и свойствах чисел) оказываются основными проблемами геометрии.
С другой стороны, геометрический смысл числовых выражений внутренне ограничивает постановку арифметических проблем (например, к трем видам чисел — линейных (a), плоскостных (ab) и телесных (abc) — нельзя было добавить число abcd, геометрически бессмысленное; соответственно, можно было рассматривать решение (методами геометрической алгебры) только уравнений третьей степени, т.е. решать проблему отыскания двух средних в непрерывной пропорции (знаменитая задача об удвоении куба, которую впервые решил с помощью изощренных стереометрических построений Архит Тарентский). Основные арифметические книги «Начал» Евклида построены именно таким — геометрическим — способом. В частности VIII книга геометрически трактует проблему средних пропорциональных.
Мы вынуждены входить в эти математические детали (в действительности, азбучные положения как греческой гармоники, так и собственно математики), потому что только на этом уровне достаточно конкретно открываются некоторые общие формальные (архитектонические) принципы греческой теоретической мысли. В частности, изложенное поможет нам понять одно чрезвычайно значимое место из «Эпиномиса», послесловия к платоновским «Законам». Это место вызывало массу затруднений именно из-за того (как показали О. Теплиц, О. Бекер и Б. Ван дер Варден). что филологи не обращали внимание на специальный математический смысл некоторых терминов.
Платон (или его ученики ⁶) вновь — с интонацией окончательной убежденности — рассматривает состав тех “математ”, которые необходимы для обретения мудрости и для истинного благочестия. Разумеется, в начале начал лежит всеобразующее число, которое является «виновником всех и величайших благ», без которого все «несоотносимо (или несоизмеримо) и беспорядочно (¢lÒgistÒj te kaˆ ¥taktoj), бесформенно и неритмично (¢sc»mwn te kaˆ ¥rruqmoj), и нескладно мечущееся (¢n£rmostÒj te for£)» (978а). Поистине божественно же все мироздание в целом, разумная стройность которого дана нашему зрению самим небом и небесными телами, многообразные, правильные, ритмичные движения которых и научили нас числу. Поэтому астрономия есть «наука благочестия» (990а).
«Поэтому, — резюмирует автор, — должны быть математы. Величайшая же из них и первая — о числах, но не о тех, что имеют тела, а в целом о родах четного и нечетного и о том, сколь мощно воздействуют они на природу существующего. Следующее для тех, кто научился этому, то, что называют очень смешным именем геометрии; [тогда как] очевидно, что [это наука о том], как стать подобными числам, которые по природе не являются подобными, [если речь идет о] плоских числах» (990d) ⁷.
Определения использованных здесь терминов мы находим у Евклида. VII 22: «“Omoioi ™p…pedoi kaˆ stereoˆ ¢riqmo… e„sin oƒ ¢n£logon œcontej t¦j pleur£j.— Подобные плоскостные и телесные числа суть имеющие пропорциональные стороны» ⁸. Иными словами два плоских числа (прямоугольника) ab и cd подобны, когда a/b = c/d или a/c = b/d. Два телесных (стереометрических) числа (паралелограмма) abc и def подобны, когда a/d = b/e = c/f. «Эпиномис» говорит, что вся задача геометрии (планиметрии и стереометрии) уподобить неподобные числа, т.е. выразить их через отношение равновеликих но подобных чисел, например, квадратов (соотв., кубов).
Построить квадрат (x­­­­­­­2), равновеликий данному прямоугольнику (ab), значит найти среднюю геометрическую его сторон (a/x = x/b). Задача легко решаемая геометрически. Соответствующую опреацию проделывают с другим плоским числом (cd), неподобным первому. Получают отношение двух подобных чисел (квадратов x2 и y2), между сторонами которых в свою очередь существует средняя (согласно предл. VIII. 11 «Начал» Евклида ⁹).
Основная задача стереометрии сводится к отысканию двух средних пропорциональных, с помощью которых данное паралелограмное число может быть выражено равновеликим кубом, и один куб геометрически (непрерывно) перестроен в другой ¹⁰.
Итак, аритмо-геометрический ум-устроитель (косметор) устраивает (или открывает устроение) мира чисел-форм тем, что умеет связывать разнородные, разновидные, неподобные формы непрерывными отношениями подобия, сводя все многообразие форм (аритмо-геометрических) к одной (например к некоему единичному квадрату или кубу). С другой стороны, он умеет с помощью пропорциональных построений порождать многообразный мир из первых форм (единиц), — либо как ряды чисел, каждый из которых соответствует определенному эйдосу (треуголное, квадратное, пятиугольное, гетеромекное число), либо как бесконечное множество фигур, связанных пропорциональными отношениями сторон с единственной равновеликой им и равной самой себе фигурой.
Теперь мы можем перейти к последнему пассажу «Эпиномиса», столь же многозначительному, сколь и темному.
__________
¹ См. главу «Почему появилась геометрическая формулировка» в цит. кн. Ван дер Вардена (с. 173-175)
² См.
³ См. чрезвычайно изящное изложение теории фигурных чисел, показывающее к тому же, как можно эффективно работать с ними на пифагорейский лад, в кн.: Щетников А.И. Пифагорейское учение о числе и величине. Новосибирск. 1997.
⁴ Неопифагореец II в. н.э. Никомах из Герасы различает гетеромекные числа вида n (n+1) и промекные (продолговатые) числа вида n (n+m).
⁵ См. подробнее Ван дер Варден Б. Цит. соч. С. 197-202
⁶ Скорее всего некто Филипп из Опунта.
⁷ «diÕ maqhm£twn dšon ¨n e‡h: tÕ d mšgistÒn te kaˆ prîton kaˆ ¢riqmîn aÙtîn ¢ll' oÙ sèmata ™cÒntwn, ¢ll¦ Ólhj tÁj toà perittoà te kaˆ ¢rt…ou genšseèj te kaˆ dun£mewj, Óshn paršcetai prÕj t¾n tîn Ôntwn fÚsin. taàta d maqÒnti toÚtoij ™fexÁj ™stin Ö kaloàsi mn
sfÒdra gelo‹on Ônoma gewmetr…an, tîn oÙk Ôntwn d Ðmo…wn ¢ll»loij fÚsei ¢riqmîn Ðmo…wsij prÕj t¾n tîn ™pipšdwn mo‹ran gegonu‹£ ™stin diafan»j» Рискую дать нарочито буквалистский перевод. — Ср. пер. А.Н. Егунова: «Следовательно, должны быть науки. Самая главная и первая из них — наука о самих числах, но не об отвлеченных (? — А.А.), а о зарождении вообще понятия “чет” и “нечет”, об их значении, которое они имеют по отношению к природе вещей. Кто это усвоил, тот может перейти последовательно к тому, что носит очень смешное название геометриии. На самом же деле ясно, что это наука о том, как сделать соизмеримыми на плоскости числа, по своей природе несоизмеримые...» (См. Творения Платона. Т XIV. С. 268). (К сожалению в изд.: Платон Соч. в трех томах. Т. 3(2). М. 1972. С. 501, — редактор исказил перевод А.Н. Егунова до полной невразумительности). Замечательного филолога А.Н. Егунова затруднило незнакомство с математической терминологией. Ср. совершенно точный по содержанию перевод математика Б. Ван дер Вардена: «Для того, кто изучил это становится совершенно ясным то, что люди в высшей степени нелепо называют “землемерием” (geometria), но что в действительности имеет целью уподобление чисел, которые по природе не подобны друг другу; это становится совершенно ясным в случае плоских фигур». — Пер. с голландского И.Н. Веселовского. Ван дер Варден Б. Цит.соч. С. 216.
⁸ См. Евклид. Начала. Кн. VII-X. Цит. изд. С.10.
⁹ Согласно предложению VIII, 18, два подобных плоских числа вообще всегда имеют одну среднюю.
¹⁰ Задача удвоения куба — сложнейшая для греческой геометрии. Именно на путях ее решения была развита теория конических сечений, вершина греческой математики.