§ 3. Гармоника и пифагорейская арифметика.

Самым первым, простейшим элементом музыки является музыкальный звук. Мелос, музыкально интонированный звук (голос) отличается как от любого “естественного” звука, так и от звучания текущей речи. Музыкальный звук, будучи непрерывным во времени, имеет определенное высотное положение: мерой высоты он определяется как некое звуковое существо, отличающееся от другого звукового существа. Иными словами, музыкально интонированный голос — ступенчат, дискретен или, говоря языком современной физики, квантован (по высоте) ¹. Аристоксен ² в «Элементах гармоники» определяет: «...Есть два вида движения: слитное (непрерывное — sunecšj) и интервальное (diasthmatik¹). Двигаясь слитно, голос воспринимается слухом так, как будто он проходит некоторое место, нигде не останавливаясь, даже на самих границах (mhd' ™p' aÙtîn tîn per£twn)... Согласно же другому виду движения ... голос ... останавливается на одной высоте, затем на другой .., перешагивая через промежутки между высотами, останавливаясь же на самих высотах и озвучивая только их; это и называется “петь” (melJde‹n), т.е. двигаться интервальным движением <...> Слитное движение мы полагаем речевым (logik») <...> В интонировании (™n d tù melJde‹n) мы... стремимся более всего, чтобы голос стоял на месте. Чем более каждый звук у нас будет единым, неподвижным (установившимся), неизменным (самовоспроизводящимся), тем более совершенным (точным — ¢kribšsteron) представляется чувственному восприятию мелос» ³. Места как бы неподвижного стояния голоса (mon» tij kaˆ st£sij tÁj fwnÁj), или, как сказано выше, границы, пределы (t¦ pšrata) высоты называются «высотным положением» (t¾n t£sin — натяжением, напряжением) ⁴.
Структура “высотных положений” (или внутренних “границ” звука) и есть предмет гармоники. Эта структура зримо обнаруживается в настройке и самом строении музыкальных инструментов: в отношениях натяжения струн или их длин, в расположении отверстий на духовых инструментах... Разные сложения звукоряда определяют разные лады и музыкальные системы. Каков же простейший звукоряд, элементарная “квантовая” система, музыкальный атом? И чем определяются высотные положения, “квантовые состояния” этого музыкального атома?
Принимая звук некоторой высоты за начало, за точку отсчета, за единицу, мы получим следующее “по природе” высотное положение там, где возникает со-звучный, подобный исходному звук (звуча вместе, они сливаются в один звук). Это и есть элементарная “гармония” ⁵. Теоретическая гармоника возможна постольку, поскольку чуткость слуха можно заменить точностью измерений и — еще точнее (однозначней) — числовых отношений. Найти такую меру в натяжениях струн невозможно, но есть простое соответствие (ана-логия) между отношением высотных положений и отношением, например, длин струн одного натяжения, или одной струны — монохорда — зажимаемой в разных местах.. Именно открытие этого соответствия и лежит, как кажется ⁶, в основе пифагорейской теории музыки, т.е. в основе арифметизации гармоники. Высотные положения, соответствующие элементарным чистым созвучиям, выражаются простыми числовыми отношениями: октава — 2/1, кварта — 4/3, квинта — 3/2. Если взять струну в 12 условных единиц, то струна (того же натяжения) в 6 единиц (или та же струна, зажатая посредине) будет звучать на октаву выше; струна в 9 единиц — будет звучать в кварту с первой и квинту со второй, а струна в 8 единиц — в кварту со струной в 6 единиц и в квинту со струной в 12 единиц. Интервал между квинтой и квартой — 9/8 — называется тоном. Интервал октавы складывается из интервала кварты и интервала квинты. Сложению операций (нахождение величины, стоящей в пропорциональном отношении с исходной) соответствует умножению отношений: 1/2 = 3/2 ´ 4/3, вычитанию — деление: целый тон есть разность между квартой и квинтой: 9/8 = 3/2 : 4/3. Основные интервалы можно по-разному делить на более дробные, разные деления звукоряда создают разные лады. Классическая гамма (гармония) представляет собой два тетрахорда (например, восьмиструнная лира), обнимающих каждый интервал в одну кварту и разделенных интервалом в один тон (в целом, следовательно, интервал октавы) ⁷.
В основе гармоники лежат, стало быть, следующие сопоставления: (1) отдельным музыкальным тонам — целых чисел, (2) звуковысотным интервалам (гармониям) — отношений целых чисел и (3) качествам созвучий — свойств числовых отношений (например, созвучными могут быть только кратные и эпиморные отношения ⁸).
Положения кварты и квинты делят интервал октавы. Деления эти связывают крайние члены (например, 6 и 12) определенным пропорциональным отношением (со-размерностью, симметрией или подобием отношений, ана-логией) ⁹ или средними (mšsai). Квинта есть средняя арифметическая, а кварта так называемая средняя гармоническая (в этой пропорции, больший член превышает средний на ту же свою часть, на какую часть меньшего члена превышает его средний ¹⁰). Обе пропорции заключают между своими значениями значение геометрической средней, когда первый член находится ко второму в том же отношении, что второй к первому ¹¹. Геометрическая средняя связывала бы крайние члены непрерывной пропорцией (a/x = x/b), или делила бы интервал надвое. Однако, при делении интервала октавы (1/2) средняя геометрическая есть величина неопределимая (Ö2) ни арифметически, ни на слух (¥logoj, irrationalis, surdus ¹²). Методом последовательного вычитания интервалов нетрудно показать, что общей меры (единицы) для трех средних быть не может.
Между тем, присоединение октав образует как раз геометрическую прогрессию (степеней двойки): 1/2 = 2/4 = 4/8. Делится же интервал октавы не надвое (не в непрерывной пропорции), а двояко: связь крайних определяется двумя средними — арифметической и гармонической, — которые образуют пропорцию (так называемую “золотую пропорцию”): 1/ (3/4) = (3/2)/2 или 6/8 = 9/12.
Деление интервалов (равно как и наращивание интервалов за пределы октавы) можно продолжать неопределенно долго и разными способами. Критерием здесь выступает уже только музыкальная практика. Аристоксен говорит, что слух не различает интервал, меньший наименьшей диэсы (четверть тона) ¹³. Наибольшим же консонирующим интервалом он считает квинту с двумя октавами, «до трех октав мы уже не дотягиваем» ¹⁴. Между тем, замечает Аристоксен, если иметь в виду формальную организацию мелоса, деление и расширение может идти в беспредельность (e„j ¥peiron) ¹⁵.
В основе же всего идущего в беспредельность многообразия лежит элементарное диатоническое трезвучие (базовое трезвучие настройки любого инструмента): кварта, квинта, октава. Выражаются эти интервалы тремя первыми целыми числами: 1, 2, 3, 4. К тому же эти четыре числа в сумме дают десятку, т.е. воспроизводят начало — единицу — в следующем разряде. Эта четверка чисел — тетрактида — имеет, следовательно, смысл некоего порождающего начала, элементарного микрокосмоса, мировой формулы (как сказали бы сегодня), содержащей начала всеобщего устроения и, соответственно, постижения.
Скептик Секст Эмпирик (2-я пол. II в. н.э.) на удивление емко и связно передает суть пифагорейского учения («Против ученых», кн. VII, 93, 6 - 98, 2 ¹⁶): «Началом же того, чем держится все в целом было [у пифагорейцев] число (¢rc¾ tÁj tîn Ólwn Øpost£sewj ¢riqmÒj) ¹⁷; потому и логос, судья [различитель, разбиратель] всего, не будучи непричастным мощи числа, мог бы быть назван числом ¹⁸, и для выражения этого пифагорейцы имеют обыкновение в одних случаях произносить фразу:
...числу же все подобно (¢riqmù dš te p£nt' ™pšoiken ¹⁹),
в других же клясться клятвой, наиболее проникающей в сущность вещей (tÕn fusikètaton):

oÙ m¦ tÕn ¡metšrv kefal´ paradÒnta tetraktÚn,
pag¦n ¢en£ou fÚsewj ∙izèmat' œcousan
Тем поклянемся, кто нашей главе передал четверицу,
Вечнотекущей природы имущую корень источный
“Передававшим” они называли Пифагора... “Четверицей” же — некое число, которое, составляясь из первых четырех чисел, создает совершеннейшее число “десять”... Источником же вечнотекущей природы она названа постольку, поскольку весь космос, по их мнению, устроен согласно гармонии, гармония же есть система трех консонансов — кварты, квинты, октавы <...> Поскольку Четверица полагает основание для числовых отношений указанных консонансов, а консонансы способны выполнять совершенную гармонию, согласно же этой гармонии устроено все, то из-за этого они и назвали ее “имущей источный корень вечнотекущей природы”» ²⁰.

__________
¹ Мы уже заметили, что бытие музыкального звука во времени тоже “квантовано” ритмом и метром.
² Автор самого раннего из сохранившихся трактатов по гармонике (а, вероятно, однго из первых вообще; Аристоксен ссылается только на книгу Ласа из Гермионы). Родом из Тарента (родины знаменитого математика-пифагорейца Архита), Аристоксен, пройдя школу пифагорейцев, стал затем учеником Аристотеля. Имеется греко-русское издание «Элементов гармоники» Аристоксена, подготовленное В.Г. Цыпиным: Аристоксен. Элементы гармоники. Подготовка текста, перевод и примечания В.Г. Цыпина. Московская государственная консерватория. 1997. Цитируется это издание, курсивом в скобках я позаоляю себе дать свои варианты перевода отдельных слов, чтобы подчеркнуть важные оттенки. Фрагменты из других сочинений Аристоксена, очерк его творчества и анализ музыкальной теории даны в книге, уже не раз цитированной: Цыпин В.Г. Аристоксен. Начало науки о музыке. М. 1998
³ Указ. изд. С. 17.
⁴ Там же. С. 19.
⁵ «Гармония есть созвучие,б созвучие же — согласие (¹ g¦r ¡rmon…a sumfwn…a ™st…n, sumfwn…a d Ðmolog…a)», — говорит Платон в «Пире» (187b).
⁶ Что именно стоит за числовыми отношениями простейших интервалов у ранних пифагорейцев и, возможно, у самого Пифагора (см. Диоген Лаэртский. VIII, 12), неясно. «Только после 300 года “каноники при помощи измерений на монохорде дали экспериментальное подтверждение основ пифагорейской теории музыки». — Ван дер Варден Б. Пифагорейское учение о гармонии. См. Ван дер Варден Б. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. С. 397..
⁷ См. детальнй анализ в статье: Ван дер Варден Б. Пифагорейское учение о гармонии, опубликованной в кн. Ван дер Варден Б. Пробуждающаяся наука. С. 395-434. См. также Герцман Е. В. Античное музыкальное мышление. М. 1986. Он же. Музыкальная боэциана. СПб. 1995.
⁸ Формула эпиморного отношения: (n + 1)/n.
⁹ Латинское слово proportio переводит греческое слово ¢nalog…a, которое обозначало, как правило, только геометрическую пропорцию. В общем случае пропорция называлась summetr…a — соразмерность.
¹⁰ (12-8)/12 = (8-6)/6
¹¹ См. изложение теории трех пропорций у Архита: ФРГФ. B2. С. 457.
¹² Несоизмеримые величины назвал ¥logoi — Теэтет, герой одноименного платоновского диалога Греческое ¢logoj перевел на латынь словом irrationalis Марциан Капелла (470 г. н.э.). Герхард Кремонский (1114-1187 г.) употребляет заимствованный у арабов термин surdus — глухой, немой. См. Начала Евклида. Пер. с греч. и комм. Д.Д. Мордухай-Болтовского. Кн. VII-X. М.-Л. 1949. (комментарий к кн. X). С.359.
¹³ Аристоксен. Цит изд. С.23.
¹⁴ Там же. С. 29.
¹⁵ Там же. С. 23.
¹⁶ См. также кн. IV, 2-9. Аналогичные свидетельства см.: ФРГФ, 44 (Филолай) А 13; В 6, В11; 58 B 4 (Александр Афродисийский), B 15. ФРГФ, 58 (пифагорейская школа) B 15
¹⁷ Напомню, что именно это «все в целом (tîn Ólwn)» Пифагор, по рассказам, назвал “космосом-нарядом (украшением, красотой)» (см. выше, с. 000). ØpÒstasij — фундамент, основание, то, чем сущее обязано тем, что существует.
¹⁸ Ср. фр. 11 Филолая: «Природа числа дает знание, направляет и поучает всех во всем затруднительном и неизвестном. В самом деле, никому не была бы ясна ни одна из вещей ни в отношении самих к себе, ни в отношении друг к другу, если бы не было числа и его существа» (ФРГФ. С.443).
¹⁹ Сходно, подобно числу никоим образом не означает “состоит из” чисел , как говорят не только некоторые современные исследователи, но порою и “сам” Аристотель (sunest£nai), см., напр., Metaph. XIII 6 1080b16. Начала, определяющие определенность сущего, пределы сами не суть то, что они определяют, но также и не какие-то другие существа. В этом трудность “предела” как онто-логического начала. «Пифагорейцы говорят, что существующие суть подражания (mim»sei) чисел, Платон же, изменив имя, — что “причастности” (meqšxei); но что такое причастность или подражание эйдосам, они оставили искать другим» (Metaph. I. 5 987b10).
²⁰ За исключением измененного мною начала цитируется пер. А.Ф. Лосева по изд.: Секст Эмпирик. Соч. в двух томах. М. 1975. Т.1. С.78-79.