А.

Исходные определения математической рефлексии ¹¹⁶.

Начнем с Математики. Тут дело яснее, в частности яснее и для самого Канта.

”...Конструировать понятие – значит показать a priori соответствующее ему созерцание”.

”...Я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию, или при помощи одного лишь воображения в чистом созерцании, или вслед за этим также на бумаге в эмпирическом созерцании, но и в том и в другом случае совершенно a priori, не заимствуя для этого образцов ни из какого опыта. Единичная нарисованная фигура эмпирична, но тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его всеобщности, так как в этом эмпирическом созерцании я всегда имею в виду только действие по конструированию понятия, для которого многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, и потому я отвлекаюсь от этих разных [определений], не изменяющих понятия треугольника”. Из контекста ясно, что выражение “отвлекаюсь от…” не адекватно мысли Канта, поскольку в идеальном (построенном) треугольнике “разных величин” просто нет и от них (несуществующих) невозможно ни “отвлекаться”, ни “не отвлекаться”.

Таким образом, по Канту, в математическом конструировании (синтезе) создается понятие уникального (одного) математического объекта – треугольника (треугольника вообще, как такового..,), круга, конуса…¹¹⁷ Дополнение “треугольник вообще...” не означает, что здесь суммируются общие признаки всех созерцаемых эмпирически треугольников. Это дополнение означает, что существует один (нетождественный, но именно один) всеобщий способ созидания, конструирования Треугольника (одна понятийная “схема”). Один способ конструирования задает один (в логическом смысле) предмет - Треугольник, в котором нет данной величины углов или данной длины сторон, в котором есть лишь соотношение между сторонами и углами; в котором “один угол” – это потенция (спектр!) возможных углов и сторон. Именно эта “спектральность” углов (свободных переменных) делает построенный треугольник не формальным обобщением и не эмпирически единичным предметом, но таким единичным (особенным) предметом, который обладает потенцией (качеством) разворачиваться, становиться любым заданным воплощением’ делает этот треугольник Треугольником. Созерцается этот треугольник только “очами разума, а не глазами во лбу” (Галилей). И вместе с тем этот треугольник именно предстает очам разума как предмет. Он – один, он – единичен (вспомним исходное изобретение “монстров” Галилея). /Для математики конструировать “понятие” тождественно конструированию предмета этого понятия.

Этот кантовский подход к “конструированию понятии” еще жестче выражен в “Исследовании степени ясности…”;
“Конус может вообще означать что угодно, но в математике он возникает из произвольного представления о прямоугольном треугольнике, вращающемся вокруг одной из своих сторон. Определение здесь, как и во всех других [сходных] случаях, возникает_явно_ посредством синтеза” (2, 246).

Вот что означает “рассматривать общее в частном…”. Это означает строить общее (понятие треугольника) как особенное. Как данный, неповторимо особенный треугольник, с углом – “спектром”, со сторонами – “векторами”, но (!)... потенциально превращающимися в… и т.д. и т.п., со всеми этими парадоксальными “признаками” – признаками формирования вещей, а не их наличного бытия, признаками, не возможными ни для какого эмпирического треугольника.

Но тут возникает кардинальный для всего нашего исследования вопрос: а будет ли такое – математическое – рассмотрение общего в особенном только конструированием особенного понятия (треугольника), исходя из неких общих понятий – принципов (например, из понятия “пространство”, которое – по Канту – не строится, хотя является всеобщей схемой построения пространственных фигур…), или же этот синтез конкретных – особенных – геометрических фигур будет одновременно анализом (= дальнейшим развитием – вплоть до “вырождения” или трансмутации) самого понятия пространства? ¹¹⁸

Безусловно, в явном виде этот вопрос спровоцирован, во-первых, анализом Галилеевых мысленных экспериментов (главы V – VI), в которых формировалось впервые классическое всеобщее понятие пространства (пространства-сцены и пространства – сценария построения отдельных фигурных композиций); во-вторых, этот вопрос спровоцирован современной логической революцией, в которой осуществляется качественная трансформация самого понятия пространства-времени (Эйнштейн, Бор).

Однако в неявном виде вопрос об аналитическом статуте математического конструирования и о конструктивном творческом статуте философского анализа был сквозным и наиболее мучительным вопросом всего кантовского “трансцендентального учения о методе”. Причем вопрос этот был продиктован самим строем классической науки.

Сейчас – для нашего спровоцированного и катализированного современной логической революцией размышления – вопрос (и установка его решения) стоит так. – Схема построения каждой геометрической, фигуры (“схема построения понятия этой фигуры) неявно редуцирует (или возводит…) эту фигуру, это понятие к каким-то иным, более общим схемам, понятиям, фигурам.

Так, построение конуса опирается на вращение треугольника; треугольник здесь задает схему формирования конуса, причем треугольник, также понятый в состоянии движения, становления, сдвига, понятый как, феномен опять же построения.

Треугольник строится движением линии; линия – движением точки – по определенной схеме, заданной уже самым общим определением точки…Точка строится (...?). Отдельные, разрозненные схемы связываются между собой в сложнейшую органическую связь; понятие “пространство” имеет своим действительным содержанием эту всестороннюю связь (и взаимопереход конструктивных схем ¹¹⁹. Это уже не пространство – фон, но “группа групп преобразований”, это нечто глубоко динамичнее и структурное (а не просто “ряд” или “агрегат”, как в исходных кантовских определениях, задающих структуру рассудочных суждений).

Но это, в свою очередь, означает – если быть последовательным, – что каждая новая схема “фигурного синтеза” возможна как дальнейший анализ всеобщего понятия пространства, как углубление и в конечном счете преобразование этого понятия. Эту обратную связь истории “фигурного синтеза” и истории “логического анализа” для всеобщего понятия пространства (всеобщего учения о пространстве) блестяще показал Лакатос в своих “Доказательствах и опровержениях” (см. более детальный анализ книги Лакатоса в моей статье “Творческое мышление как предмет логики”¹²⁰).

Но если это так, если такая обратная связь существует, если аналитичен уже сам математический синтез, то для чего еще необходима философская “рефлексия”, в чем же тогда смысл (исторический смысл) того жесткого антиномического расщепления математического и философского методов, на котором (расщеплении, противопоставлении) настаивает Кант?

Так стоит вопрос сегодня. Но так стоял вопрос и для Канта, когда он задумывался над необходимой дополнительностью этих методов развития всеобщего, этих антиномических форм рефлексии научного знания (в контексте классического разума).

Необходимость совмещения этих методов определения мысли не исключала, но предполагала для Канта (в этом сказалась вся его проницательность и историческое чутье) необходимость их жесткого, антиномического противопоставления, взаимоисключения в естественнонаучном теоретизировании.

Взаимоисключение математической и философской “рефлексии”, “математического синтеза” и “философского анализа” выявляется особенно жестко – полагал Кант – именно на основе исходных, предельных определений того и другого методов. Конечно, эти определения возможно (как мы сейчас убедились, анализируя математическое конструирование) “обратить”, “вывести” их в точку соприкосновения и взаимоперехода, но стоит вновь вернуться к точному и однозначному исходному определению, к определению целенаправленности каждого из этих методов, как их радикальная несовместимость выступит опять с бескомпромиссной силой и жесткостью.

Это – сила выхода за пределы собственно теоретического мышления, в целостное определение культуры Нового времени.

Философское “начало” неявно обращается в математическое, а математическое – в философское, до тех пор пока эти два начала теоретизирования, еще не дошедшие до вне-теоретического бытия, остаются внутренними потенциями теоретической мысли. Но в качестве определений целостной культуры они непримиримы и непревращаемы. Сейчас – немного об этой непримиримости и общекультурном смысле “начала математического”.

Математическое определение целостной культуры Нового времени – это определение ее радикальной методологичности.

Даже тогда, когда математическое начало не воплощается в математических уравнениях, в математических понятиях (тогда – особенно!), оно реализуется во всех сферах культуры как особый интерес к методу (построения предмета; построения самого себя; построения ближних своих…), с потуханием интереса к самому предмету, к собственной личности, к бытию других людей. Культурный человек Нового времени – “математик” в той мере, в какой метод для него самодовлеющ, в какой метод есть особый мир построений, предназначенных для… но отвлеченных от этого самого “для”, замкнутых на самое себя ¹²¹.

Но это означает и другое.

Быть “математиком”... означает, скажем, для поэта строить мир образов, а не символов.

Имеется в виду следующее. Уникальный мир посюстороннего бытия (вот этой человеческой жизни) уясняется и – никогда не может “до конца” уясниться (наоборот, чем более мы его уясняем, тем более он раскрывает свою неисчерпаемость…) – в бесконечной “системе” сопряжении с парадоксальным миром невозможных – для бытия – воображаемых объектов.

Если “символ” – по замыслу (никогда, впрочем, недостигаемому) – раскрывает в плоском земном предмете (за земным предметом…) его “небесный”, потусторонний, неподвижный (вне-подвижный) смысл, то “образ” – это попытка раскрыть неисчерпаемость земного мира, моей индивидуальной жизни, не сводимой ни к какому общему смыслу, ни к какому сущностному (символическому) определению. Чем значительнее, глубже, страннее, замысловатее сеть парадоксальных “смысловых миров”, привлеченных для того, чтобы разгадать (уловить), что такое “я”, что такое “ты”, – тем уникальной, неповторимей, неуловимей, значительней (многозначней) мое индивидуальное смертное бытие.

“Математик” знает, что его мир – это – увы! (или к счастью!) – мир созданных на кончике пера, не могущих существовать реально объектов, отношений, общений. Его вечный, бессмертный мир – лишь… плоская тень обыденного сиюминутного мира смертных вещей, смертных людей, преходящих чувств… И “математик” наслаждается этим. Понимание, что его мир “только” воображаемый, придуманный, изобретенный (в качестве… вечного абсолютного мира идей), – это понимание\не уменьшает наслаждение, но придает ему особую, ироническую горькую силу.

Вот в каком смысле “математическое начало” творческого мышления Нового времени (попробуй узнай здесь скучное “вычислитель-ство”!) есть всеобщее определение культуры XVII – XIX вв. Одно из этих всеобщих определений.

______________

¹¹⁶ Не хотел бы сейчас углубляться в спор о словах. “Рефлексия” – это не совсем то слово, которое здесь нужно. Речь скорее идет о двух противоположных формах логического определения (доведения до предела, до перехода в иное…) теоретической мысли Нового времени, речь идет о двух антиномических формах ее (мысли) самообоснования (выхода за собственные пределы). И все же термин “рефлексия” взят совершенно сознательно. Мы уже знаем, что для рефлексии необходимо осмысление мысли как всеобщего предмета мышления, то есть необходимо вне-логическое определение логического. В антиномии “математика – философия” рефлексия достигает своего наиболее артикулированного выражения. Взаиморефлексия математики и философии – это и есть рефлексия (Нового времени) в собственном смысле слова. Есть рефлексия выхода из теории – в культуру, рефлексия “входа” из культуры – в теорию (сжатия целостного разума – в разум теоретический).

¹¹⁷ В другом плане и в другом контексте я говорил об этом в первой части. Но сейчас многое придется повторить, но уже в иной логической ориентации.

¹¹⁸ См.: Лакатос И. Доказательства и опровержения.

¹¹⁹ Ср. анализ экспериментов Галилея во второй части.

¹²⁰ Научное творчество. М., 1969. С. 167 – 220.

¹²¹ На этом размышлении построена кантовская “Критика способности суждения”.