В. Механика и математика

Механическая практика могла быть источником предметности новой физики, но она ни в коем случае не была ее единственным истоком. Подобно тому, как растение перерабатывает питательные вещества, полученные из почвы, в систему органических образований, физическая наука, усваивая опыт механической практики, радикально перерабатывала его.
Особенности образования Галилея, о которых мы уже говорили, — раннее развитие технического таланта, погружение в атмосферу университетской науки и сосредоточение внимания на «философии» динамических проблем, наконец, позднее обращение к математике и изучение механики параллельно с ней – все это приводит к тому, что механический опыт прежде всего оборачивается для него своей теоретической стороной. Взаимодействие математического конструирования, механических интерпретаций и физических интуиции вырабатывали особый стиль мысли, плохо совместимый с характером современной Галилею учености. Практическая механика становится для Галилея не просто областью применения его теоретических талантов, но школой изобретательного эксперимента. Его отношение к ремесленному опыту активное и независимое. Предметность и теоретическая цель здесь, как и везде у Галилея, взаимно образуют друг друга. Критичность, свойственная теоретику, ничуть не меньше у Галилея по отношению к практической эмпирии ремесленника, чем по отношению с философствующей эмпирии перипатетиков.
Такая критичность вообще характерна для нового подхода к естествознанию. Л. Ольшки приводит, например, следующие слова современника Галилея Джузеппе Череди: «Не имеющие научной школы изобретатели придумывают полезные вещи лишь случайно, ученые же, лишенные опыта, ограничиваются общими абстрактными сведениями, не доставляя своему уму никакой другой пищи, кроме пустых отвлеченностей» ⁴⁵¹. Именно в процессе такого взаимодействия создавалась основа новой экспериментирующей физики.

Поэтому Галилей — по отношению к наблюдателям природы скорее практик, который разрушает и перестраивает естественный предмет, чтобы в искусственно организованном явлении обнаружить всеобщий принцип, по отношению же к практикам — скорее наблюдатель, видящий в техническом процессе опять-таки не конечную и частичную цель, которая в нем достигается, а всеобщий закон, который в нем обнаруживается⁴⁵².
Если идеализирующая работа в области натуралистической эмпирии имела целью заменить «естественный» процесс, обремененный множеством случайных обстоятельств, искусственным, изолированным от «случайностей» процессом, воспроизводящим законосообразную форму явления, то механический процесс воспроизводится в эксперименте с таой самостоятельностью, как если бы это был естественный процесс. В результате действительной почвой физического эксперимента становится «естественная механика», или же, иными словами, «механическая природа».
Таким образом, тем ближайшим этапом, который должен был опосредовать превращение практической опытности в научный эксперимент, был этап механических игр, т. е. исследования механических явлений в условиях, свободных от практической целесообразности. Научный эксперимент действительно должен представляться практику некоей игрой. Рассмотрение явления во всеобщности, т. е. при освобождении его от случайных частных условий, будут ли эти особые условия определены чуждой предмету практической целью или ограниченными условиями Земли, является в обоих случаях целью теоретического анализа. Поэтому именно экспериментальная «игра» или «игра» коперниканского и кеплеровского воображения, дающие возможность представить предмет в иных условиях, во всех возможных условиях, следовательно, помыслить предмет без условий, т. е. так, как он есть сам по себе, оказывается фундаментальнейшим моментом теоретического познания.
Исследуя именно творчество Галилея, этот момент эксперимента отметил в своей «Механике» Э. Мах. Он называет его «принципом непрерывности»: «Придя к какому-нибудь взгляду относительно какого-нибудь специального случая, мы постепенно изменяем в мыслях условия этого случая, насколько это вообще возможно, стараясь по мере возможности удержать этот взгляд» ⁴⁵³.Целью экспериментирования в таком случае является такое изменение условий, чтобы предмет можно было усмотреть в безусловном (чистом) виде. А это как мы уже замечали, достигается тем, что в одном и том же реальном или мысленном опыте объединяются противоположные условия (например, условия естественного падения и насильственного подъема). Другой аспект этого замысла состоит в том, что условия (например, наклон плоскости или диаметр круга-траектории) непрерывно доводят до крайнего, предельного случая, в котором исследуемый предмет непосредственно превращается в другой (движение по наклонной плоскости — в горизонтальное; движение по круговой траектории — в прямолинейное) ⁴⁵⁴.
Таким образом и происходит наблюдение ненаблюдаемого, экспериментальная реализация теоретического (следовательно, мыслимого) предмета. Но каков же характер этого мыслимого предмета? Почему мы говорим о нем как о предмете, если он только мыслимый? Да еще как о предмете самом по себе, как о природе природы? Каков предметный результат нашего «уничтожающего» эксперимента?
Пытаясь ответить на эти вопросы, мы наталкиваемся на парадокс. Теоретическое мышление в эксперименте преобразует естественный предмет и формирует предмет, в котором достоверность наглядности непрерывно переходит в достоверность мысли и наоборот, — предмет, в котором предметное стало «прозрачным» для понятия, а понятие «существующим» как предмет. Мышление, которое таким способом, наконец, обрело свою предметность, достигает этого тем, что, говоря словами Гегеля, превращает все «бытие в мысленное бытие, и на деле утверждает, что вещи обладают истиной только как понятия» ⁴⁵⁵.
Парадокс заключается в том, что в качестве истины существующих телесных вещей теоретик открывает сущности, в которых от определения телесности осталась, скажем, только чисто геометрическая протяженность (как «фигуры и движения» у Декарта), или «формальный атом» (как у Лейбница), или движение материальных (то есть наделенных «массой» и, соответсвенно, «силой» взаимодействия) точек в пустом, однородном, бесконечном пространстве (как у Ньютона).
Именно в созерцании таких объектов «чувство, более возвышенное и более совершенное, чем обычное и природное» (I, 423) объединяется с разумом, а мысль оказывается способной созерцать.
Мы получили абсолютную, объективную и ясную для мышления истину, которая не обладает только одним — определением существования. Объективное — только возможно, существующее со своими «вторичными качествами» — субъективно. Объективная «природа вещей», чтобы существовать, нуждается в относительных, субъективных и единичных вещах, объективность идеальна, реальность субъективна⁴⁵⁶. Таким образом, теоретическое понятие может предметно существовать только в услових эксперимента, т. е. только пока существует реальный предмет, идеальным «продолжением» которого (в процессе предельной идеализации) является понятие.
Этот парадокс осознается не сразу и не всегда. Первоначально тот факт, что мысль формирует для себя мысленный же предмет (например, механическую, геометро-кинематическую схему события), воспринимается натуралистически, в традиции платонизма, которая по существу не прерывалась на протяжении всего средневековья и была оплотом философов-гуманистов эпохи Возрождения. И нам теперь будет понятным, почему Галилей называет коперниканское учение пифагорейством, трактуя самих пифагорейцев как чистых математиков. «То, что пифагорейцы выше всего ставили науку о числах, — говорит Сальвиати на первых же страницах «Диалога», — и что сам Платон удивлялся уму человеческому, считая его причастным Божеству потому только, что он разумеет природу чисел, я прекрасно знаю и готов присоединиться к этому мнению» (Ι. 107). В дальнейшем как в «Диалоге», так и в «Беседах» Галилей постоянно апеллирует к Платону, когда демонстрирует перипатетику Симпличио фундаментальность математики не только при доказательстве тех или иных положений, но также и для выяснения истинного смысла явления (см., например, I, 302-303).
Симпличио же долго держится схоластико-перипатетического взгляда на математику. «Платон, — говорит Симпличио вслед за Аристотелем, — слишком увлекается своей любимой геометрией. Ведь в конце концов эти математические тонкости, синьор Сальвиати, истинно абстрактны, в приложении же к чувственной и физической материи они не оправдываются» (I. 303). Среди парадоксальнейших рассуждений первого Дня «Бесед» Симпличио восклицает: «...Ваши рассуждения и доказательства суть чисто математические, отвлеченные и оторванные от всякой ощущаемой материи: я полагаю, что по отношению к физической материи и предметам, встречающимся в природе, выведенные законы не могут иметь приложения» (II, 157).
В области математических тонкостей даже Сагредо порой попадает впросак и совершает, как он сам выражается, «ошибку и притом не малую, а бесконечно большую». «Не должны ли мы признать, — спрашивает он Симпличио, — что геометрия является самым могущественным средством для изощрения нших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать? Не прав ли был Платон, требуя от своих учеников прежде всего основательного знакомства с математикой?» (II, 221). Но Симпличио уже раньше смог убедиться в полновластности математики как основного средства физического мышления. «Я совершенно убежден, — говорит он, — и поверьте мне, что если бы мне пришлось начать вновь свое обучение, то я последовал бы совету Платона и принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное только то, что убедительно доказано» (II, 186).
Но Галилей был близок Платону в еще более полном смысле, чем в высокой оценке математики как средства теоретического доказательства и ведения теоретического рассуждения. Мы увидим в дальнейшем, что тот парадокс, о котором мы только что говорили, постоянно воспроизводится самим Галилеем, и он сам в этих случаях обнаруживает математическое там, где предполагал найти сущность самой физической вещи. С размышлением над такими открытиями и связана знаменитая и часто цитируемая фраза из «Пробирщика» (1623 г.) «Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаким, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее — треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту» ⁴⁵⁷.
Математика понимается здесь не только как язык фигур и линий. Математические элементы суть истинные элементы вещей. В таком математическом «реализме» математический объект как форма предмета самого по себе, форма предмета, полученного в результате изолирующего эксперимента, т. е. предмета безусловного, всеобщего, действительного и необходимого, такой объект становится основанием критики всей чувственности. Она понимается как совокупность единичных обусловленных случайными причинами состояний, образующих мир человеческих субъективных впечатлений. Цвет, вкус, звук, запах, тепло — все это сводится к неадекватным состояниям чувстенности, имеющими своим источником человеческий субъект, а не объект. Они, повторяет Галилей аргумент Декарта⁴⁵⁸, подобны чувству щекотки, которое смешно считать объективным свойством щекочущего перышка. Вне нас эти ощущения — пустые имена. Существенны только форма, величина, расположение в пространстве и времени, движение или покой и количество субстрата. «Никакая сила воображения не в силах отвлечь ее (телесную субстанцию. — А. А.) от этих условий» ⁴⁵⁹. «Никогда я не стану от внешних тел требовать что-либо иное, — заявляет Галилей, — чем величина, фигура, количество и более или менее быстрое движение, для того чтобы объяснить возникновение других качеств» ⁴⁶⁰. (Заметим сразу же, что с развитием механики этот кинематический идеал должен был столкнуться с динамическим, в котором главное место занимают «качества» силы и массы; антиномическое отношение этих идеалов и составляет реальный базис классической механики).
Ясно, что подобно платоновским числам-идеям, подобно средневековому «свету», механизм, идеализованный до геометро-кинематической схемы, был для Галилея своего рода «математической субстанцией», предметные свойства которой суть непосредственно и теоретические свойства, форма существования которой непосредственно становится формой ее понимания. Эта схема определяет проект, идеальную перспективу реального эксперимента, и любое теоретическое утверждение будет доступным экспериментальной проверке лишь после того, как получит отображение в соответствующей геометро-механической схеме. Но и любое реальное событие может получить теоретическое объяснение, лишь будучи предварительно сведено к тому же геометро-механическому прообразу.
В связи с этим существенно отметить один немаловажный гносеологический момент. Галилея не раз хвалили за то, что он отбросил метафизический способ мышления, в частности, метафизический способ ориентировать научное исследование на вопрос «почему?» — вопрос о конечной причине, о природе и сущности явления. Галилей, говорят нам, заменил этот вопрос «почему?» вопросом «как?» и стал исследовать физические процессы, не интересуясь их внутренней природой и причиной⁴⁶¹. Но в свете математической «метафизики» ⁴⁶², о которой мы говорили, эта на первый взгляд, весьма продуктивная концепция представляется менее очевидной. Речь идет, как мы увидим, не об отказе от анализа причин, а об изменении самой категориальной структуры физического объяснения. И действительно, трудно представить себе, чтобы «математический реализм» Галилея мог совместиться с тем дескриптпвизмом, который находили у него. Скорое уж анализ галилеевского метода может пролить новый свет на истинный смысл самого дескриптпвизма.
Эдвин Барт — автор широко известной книги «Метафизические основания современной физической науки» — отмечает, что ведущей идеей платонизирующих астрономов и физиков XV-XVI вв. было переосмысление аристотелевской формальной причины таким образом, чтобы ее можно было рассматривать в качестве основной. В ней должны совпадать целевая и действующая причина, ибо «гармония мира», его естественная структура представляет собой все необходимое для его объяснения⁴⁶³. Кеплер, который являет собой синтетический тип ученого, в равной мере мыслящего в категориях как платонизирующей науки эпохи Возрождения, так и классической физики, рассматривает (в «Космографической тайне», 1596 г.) саму математическую гармонию в качестве причины и основания определенного строения планетной системы. И наличие в стереометрии только пяти правильных многогранников «составляет причину числа планет (habes rationem numeri planetarum)» ⁴⁶⁴.
По мере развития математической физики открывался более определенный смысл этой «метафизики формы».
Поскольку мы в идеализирующем эксперименте находим действительный теоретический предмет, освобождаем его от внешней видимости и получаем его в чистом виде, мы, собственно говоря, не столько находим объяснение «реальным» процессам, сколько впервые находим ту форму процесса, которую целесообразно объяснять. Речь здесь идет не об отказе от обоснования, а о том, что вопрос «почему?» бессмысленно ставить к явлениям обыденного опыта, в которых мы просто не имеем дело с теоретическим предметом, с предметом, нуждающимся в теоретическом обосновании или объяснении. Секрет той теоретической продуктивности, которую многие усмотрели в замене вопроса «почему»? на вопрос «как?» состоит в том, что при этом не просто изменяется форма вопроса, задаваемого одному и тому же предмету, — все дело в том, что изменяется сам предмет.
Предшествующее изложение должно было бы выяснить, что в процессе экспериментального исследования, исследования, направленного, по видимости, исключительно по пути ответа на вопрос «как?», вместе с тем дается ответ на более фундаментальный вопрос «что?». В результате впервые обнаруживается, что, собственно говоря, надо объяснить, к чему ставить вопрос «почему?».
Так, все наблюдают, что тела пролетают некоторое расстояние и падают на землю, будучи брошены под углом к горизонту. Но было бы бессмысленно спрашивать, почему это так, ибо само «это» нуждается в уточнении. При этом уточнении строго обрисовывается и в равной мере уточняется область, в которой скрыта таинственная причина. Например, выясняется, что формы падения камня на землю, баллистической кривой и планетной траектории могут быть получены из одного принципа (см.. например, подход к этой всеобщей механике у самого Галилея (I, 334)). При этом нам не только не нужно искать каждый раз разные природы-сущности для качественно разных вещей, но даже разные формы движений должны иметь одну причину (динамический закон), и именно природа этой причины (сила) оказывается теперь конкретным источником физико-метафизической проблематики.
Такой метод теоретической физики — находить истинный предмет («что?») вопроса, заново отвечая в процессе мысленного экспериментирования на вопрос «как?» — можно проследить во всей истории современной физики. Например, теорию относительности Эйнштейна можно рассматривать в качестве объяснительной (отвечающей на вопрос «почему?», — вопрос о силе) по отношению к ньютоновской механике потому, что она иначе определила сам предмет (структуру пространства-времени («что?»)), заново конструируя его в мысленном эксперименте (исследуя, как, например, определить одновременность событий).
Именно эта «чтойность», если пользоваться схоластическим термином, механико-геометрической схемы, ее теоретико-предметная определенность (предмет-мысль) и послужила основанием для математического «реализма» Галилея и Декарта. Однако для Галилея эта «реальность» существовала во плоти и крови экспериментов, которые — будь они мысленные или реальные — дают как бы место и образ существования теоретическим понятиям. Для него любое понятие (импульс, инерциальное движение, «математическая» структура материи (см. Первый день «Бесед»)) всегда существовало в условиях демонстративного эксперимента, который давал ему необходимую предметность и наглядность. Поэтому Галилей гораздо отчетливее представлял себе структуру физического эксперимента, чем, например, Декарт. Для него было ясно, что ни сам по себе реальный предмет — темный и немой — не может ничего сказать познанию, ни сам по себе идеальный объект — геометрическая, схема — не может быть просто отнесен к предмету как некая абстракция. В экспериментировании, устроенном и целенаправленном идеальным проектом мысленного эксперимента, экспериментатор имеет дело не с «абстракцией», а с теоретической сущностью, с самой единой природой природных процессов и явлений.
В следующем разделе мы увидим, насколько далек был Галилей от распространившейся гораздо позже схемы, согласно которой теоретическая физика составляется из формально-математической теории, не содержащей внутри себя никакой предметности, и ее эмпирической проверки в процессе сопоставления этой теории с природой, знать не знающей ни о какой математике. Для Галилея, всю жизнь боровшегося с таким перипатетическим взглядом, эффективность математики в естественных науках не была непостижимым фактом⁴⁶⁵.
Декарт, для которого основным было именно логическое обоснование новой науки, исходил из самой математики. Она была для него образцом науки, создаваемой «ясным и внимательным умом». Именно в математике Декарт находил сферу, в которой, его метод мог реально осуществиться и приобрести объективный статус. Правда, это, в свою очередь, было связано с перестройкой всей традиционной системы математики, в результате характеристики и определения декартовского метода, кажущиеся субъективными, — ясность и отчетливость, интуиция и дедукция — получали форму определений алгебраических действий с теоретическим объектом: анализ функциональных зависимостей, где «созерцаемость» геометрических объектов и вовсе исчезала в оперировании с формулами (теоретическая физика формулируется на языке диференциальных уравнений в частных производных).
Для Галилея геометро-механическая схема была пределом идеализации (изоляции) реального объекта. У Декарта же мы видим, как новая идея инерциального движения — движения без естественных мест в однородной и бесконечной res extensa — преобразует весь мир идеальных предметов в систему движений, из которой предметы заново восстанавливаются в качестве геометрических механизмов. Идея механизма имела не только смысл экспериментального посредника между чувственным существованием вещей и их математической сущностью, но также и смысл идеи, преобразующей весь мир математических предметов и саму практику математических искусств⁴⁶⁶. Все своеобразие мысли Декарта — в этом взаимопреобразующем движении механики и математики. Понять предмет означает для Декарта понять его механизм, понять его как механизм. Однако теоретическая физика, которая исследует всеобщие определения физической реальности, т. о. имеет своим предметом всеобщую схему механизма, его закон, подвергает механизм дальнейшей идеализации, открывая в его основе геометрическую схему, а в основе геометрической схемы события открывается, в свою очередь, система уравнений движения. Таким образом, характеристикой предметности вообще оказывается чистое определение протяженности, а все, что реально в вещах, доступно только математике. «…По крайней мере, — замечает Декарт в «Шестом метафизическом размышлении», — надо признать, что все, постигаемое мной в них (в вещах. — А. А.) ясно и отчетливо, и есть вообще все, составляющее объект чистой математики, действительно находится в них» ⁴⁶⁷. В связи с этим и теоретическая физика мыслится Декартом как некая «всеобщая математика» — единая и методически развернутая теория всех «математичеких» наук⁴⁶⁸.
Однако арифметика и главным образом геометрия, которые изучал Декарт, не только не удовлетворяли этому замыслу, но даже в собственных пределах не обладали методическим единством и никоим образом не составляли «цепь положений совершеннейшей очевидности». Традиционный способ геометрических рассуждений и доказательств представлялся Декарту искусством произвольных построений и случайных открытий. Благодаря наглядности, присущей геометрии, учителя многое открыли Декарту, «но почему это делалось так, а не иначе, и каким путем достигались подобные открытия, они но могли объяснить моему уму удовлетворительно» ⁴⁶⁹.
И вот, важно заметить, что в разработке методов построения единого механизма геометрии — аналитической геометрии — Декарту помогли его занятия практической механикой и открытый им в результате этого механический способ решения геометрических задач. Во время своего первого пребывания в Голландии Декарт, сотрудничая с Исааком Бекманом и изучая труды Симона Стевина, впервые усваивает идеи и методы «кинематической геометрии», т. е. способ строить различные геометрические фигуры с помощью двух независимых движений. В греческой математике этот метод использовался, например, Архимедом для построения спирали, но в целом был совершенно не характерен. Теперь же он ставится во главу угла. В письме к И. Бекману от 2-го марта 1619 г. ⁴⁷⁰ Декарт сообщает об изобретенных им «циркулях», с помощью которых, как он надеется, можно будет дать метод решения всех геометрических задач, как уже известных, так и всех вообще возможных.
Позднее в Германии Декарт близко познакомился с математиком и инженером Иоганном Фаульхабером. Общая теория новых машин (мельниц, шатунов и т. п.), которой занимался Фаульхабер, открыла Декарту новый аспект проблемы. Основным звеном новых машин был передаточный механизм, представлявший собой способ различных преобразований единого (полученного от двигателя) движения. Именно в это время, как рассказывает Декарт в «Рассуждении о методе» ⁴⁷¹, у него сформировались основные идеи его методологии и общего мировоззрения. «Мир как геометро-кинематическая система с двигателем, вынесенным «во вне» (декартов Бог); животные-автоматы; неизменность количества движения (а не работы), сохраняющегося при всевозможных внутренних перемещениях мирового механизма или «машины мира», — вот некоторые основные этапы этого влияния» ⁴⁷².
В этой всеобще-механической схеме формировалось и новое понятие движения, послужившее основой для преобразования всей системы традиционной геометрии и создания аналитической геометрии. Понятие точки, описывающей определенную кривую, в силу того, что она принимает участие в двух независимых движениях (кинематическая геометрия), смыкается с понятием движения, которое в каждой точке может быть подвергнуто определенному воздействию (теория передаточного механизма) и возникает единая механо-геометрическая система, в которой алгебраически сформулированный (в потенции дифференциальный) функциональный закон оказывается универсальной формой теоретического представления предмета.
Подобно тому как универсальный механизм растворяет в своей всеобщности индивидуальные качества-сущности схоластической натурфилософии, новая геометрия полностью уничтожает качественную индивидуальность геометрических фигур, свойственную математике античной Греции. В алгебраической машине аналитической геометрии исчезает весь понятийный смысл квадрата и круга, различных классов конических сечений, сферы, куба и т. д.
Такое преобразование фундаментального геометрического объекта, с одной стороны, создавало формы, в которых можно было теоретически представить новый предмет, новое (дифференциальное) понятие движения. Понятие цельной, завершенной внутри себя геометрической формы, в параметрах которой уже заданы все возможные движения системы, превратилось в понятие формулы-функции, которая фиксирует закон движения. Закон же движения, определяет движение в самой способности его формироваться так или иначе при наличии тех или иных условий (связей, сочетаний с другими движениями). Геометрическая форма утратила всеобщность и стала единичным геометро-кинематическим объектом, подобно тому как физическое тело стало единичным событием причинно обусловленного сочетания различных механических движений. С другой стороны, абстрактность алгебраической аналитики часто воспринималась как утрата предмета вообще,
В результате теоретическая физика грозила выродиться в бессмысленное манипулирование со значками с целью получения эффективного практического результата. При этом эксперимент терял бы обе свои функции — сократовскую и предметно-преобразующую. Он превратился бы либо в средство утилитарно-эмпирического поиска, либо в формально-эмпирический корректор абстрактно-алгебраических схем, выступающих в роли псевдосодержательных гипотез.
Утрату предметного и смыслового аспекта, которую претерпевает теоретическая физика при таком уничтожении геометрической формы, ученые почувствовали сразу. Так, при всей свободе, с которой Кеплер относился к понятию формы планетной траектории, он резко отрицательно отнесся к первым, алгебраическим идеям. Кеплер указывает прежде всего на прикладной и узко-технический характер алгебраических методов. Здесь мы получаем результат, ничего не узнавая о предмете и о том, каков его смысл. Алгебра, заявляет он, «совершенно оставляет без внимания понятийные различия геометрических объектов» ⁴⁷³. Аналогичные основания выдвигал против аналитической геометрии Лейбница⁴⁷⁴.
Вместе с тем и Кеплеру, и Лейбницу было ясно, что система геометрических объектов, переданная новой физике античной мыслью, должна быть радикально преобразована па основе более всеобщего принципа. Эта попытка сохранить понятийную (индивидуально-качественную) специфику геометрических объектов (а следовательно, и экспериментальный смысл самого геометрического мышления) при разработке единой геометрической системы, в которой геометрические объекты должны производиться единым способом, привело к созданию основ проективной геометрии. У Кеплера это выразилось в теории конических сечений, производимых посредством перемещения фокусов. У Лейбница основы проективной геометрии заложены в его analysis situs.
Однако непосредственный и наиболее продуктивный контакт новой механики и новой геометрии имел место, безусловно, в аналитической геометрии Декарта, в развитии понятия функции и в разработке дифференциального образа движения. Формирование нового понятия движения (и нового предмета физики-механики) проходило, как мы видим, не только в физических, механических, но и в идеально-геометрических экспериментах. Идеализованный эксперимент непосредственно затрагивает те математические сущности, в которых он протекает, и в равной мере преобразует и их. Традиционный геометрический образ в процессе теоретико-механического экспериментирования сам обогащается новыми определениями и обнаруживает новые свойства, вступает в новые отношения с другими математическими объектами, что ведет к перестройке всей традиционной математической системы. Именно потому, что в кинематической геометрии Декарта механика неявно вошла в геометрию, сама механика могла быть явно геометризована.
И на этот раз понятие движения оказывается центральным и связующим звеном между физикой и математикой. Подобно тому, как в античной физике мы нашли специфическую форму теоретизирования в том, каким способом чисто геометрическая задача оказывается вместе с тем механической, теперь мы находим соответствующее тождество и в фундаменте новой физики. Аналитическая геометрия Декарта построена как система, в которой идею геометрического построения (или алгебраического уравнения) формирует та же самая идея движения, которая выступает в механике в виде принципа инерции и функционального определения реальной траектории движения. В механической теории движения объединяются естественная физика, всеобщая механика и кинематическая геометрия.
Ученик Галилея, автор трактата «Геометрия неделимых», Бонавентура Кавальери говорит о механике только как о «науке о движении» или о «познании движения». «Сколь важно познание движения в природных вещах, — пишет Кавальери, — и какое большое значение оно имеет для правильного философствования, полагаю, ясно всякому, кто в этом великом Театре натуры хоть раз обращал свой взор на его удивительные красоты… Поистине это есть глубочайшее учение, над которым достойно потрудились самые высокие умы, когда-либо существовавшие на свете; ведь им казалсь, что тот, кто в точности постиг это учение, тот становится способен определенным образом понимать все действия Природы и проникать в их существо. А сколько прибавляет к этому знание математических наук, которые, по суждению знаменитейших школ пифагорцев и платоников, совершенно необходимы для познания физических явлений, надеюсь скоро станет очевидным, благодаря науке о движениях (dottrina del moto), которую превосходн йший исследователь Природы синьер Галилео Галилей обещал изложить в своих «Беседах»» ⁴⁷⁵.