3. Итак, ясно, что у математических дисциплин оказались те же начала, что и у всех сущих. И подобно тому, как мы рассмотрели начала, общие для них и имеющие силу для всех родов математического бытия, точно так же дадим отчет и в том, каковы теоремы, общие для них и простые, порожденные единой наукой, содержащей в одном все сразу математические знания, и помимо этого исследуем, как эта наука сообразуется с ними всеми и может усматриваться как в числах, так и в величинах и в движениях. А таково то, что связано с пропорциями, сложеяиями и разделениями, обращениями и переставленными отношениями; 7 а также то, что связано со всеми отношениями 8 — умножением, увеличением на какую-то часть, увеличением на несколько частей и наоборот; и. просто отношения равенства и неравенства, рассматриваемые в их целостности и всеобщности, то есть не только в той мере, в какой это проявляется в геометрических фигурах, числах или движениях, но поскольку оно само по себе обладает некоей общей для каждого из названных природой и допускает простейшее о нем знание. Педь точно так же общими для всех математических дисциплин являются красота и упорядоченность, восхождение от известного к искомому и обратный переход, 9что называется анализом и синтезом. Подобие и неподобие рациональных построений также не отсутствуют ни у одного из родов математического бытия. В самом деле, из геометрических фигур одни подобны, другие — неподобны; точно так же одни равны, другие — неравны. И все то, в чем проявляются силы, 10 из которых одни могущественны, а другие подчинены чужой мощи, равным образом не чуждо всем математическим дисциплинам. Все это Сократ в "Государстве" вложил в уста возвышенно глаголющих Муз, охватив общие свойства всех математических рациональных построений в очерченных пределах и представив с помощью названных чисел, благодаря которым обнаруживаются меры плодовитости и противоположного ей бесплодия.
____________
7 enallagai — у Евклида соответствует o enallax logos (V, определение 12), лат. permutata ratio: если a:b = c:d, то а:с = b:d.
8 epimeres (лат. superpartiens) — ср. примеч. 5; тот же Никомах (ibidem, p. 55, 12-14) определяет такое число как «содержащее в себе целое и еще более чем одну его часть».
9 Ср. Arist. Anal. post. 71b9-72b4.
10 dynameis — буквальный перевод — «силы» («потенции»); как математический термин — квадрат и квадратный корень. Те же два значения и в двух терминах, используемых Платоном (Plat. Resp. 546b sqq.): ...arithmos ... en hoi protoi auxeseis dynamenai te kai dynasteuomenai treis apostaseis... По интерпретации Прокла (In Remp. II 36. 9-12), dynamenai и dynasteuomenai — корни и степени. В целом текст Прокла обыгрывает буквальное и терминологическое значение слов; в переводе отражено буквальное значение, поскольку Прокл имеет в виду пассаж из Государства (loc. cit.), где речь о числах, определяющих урожай и неурожай, пору плодородия и бесплодия; имея в виду терминологическое значение рассматриваемых слов, текст нужно переводить так:
«И все то, в чем проявляются пропорции, из которых одни строятся на возведении в степень, а другие — на извлечении корня, равным образом не чуждо математическим дисциплинам».
- Войдите, чтобы оставлять комментарии