11. А теперь скажем, чего мы можем требовать от математика и как можем правильно судить о нем. Ведь если человек, получивший общее образование, может, по словам Аристотеля, 50 судить обо всем, то человек, обученный наукам, может судить о правильности их рациональных построений. Следовательно, он должен обладать некоторыми правилами суждения и в первую очередь должен знать, относительно чего нужно проводить общие доказательства и в каких случаях обращать внимание на частные особенности отдельных видов. Дело в том, что у разных по виду фигур многое тождественно, например, у всех треугольников сумма углов равна двум прямым. Но многое тождественно только по имени, однако это общее различается в каждом данном случае по виду, например, подобие в фигурах и числах. И здесь не следует требовать от математика единого доказательства, потому что начала у фигур и чисел не одни и те же, но различаются по роду. Но если существенная особенность одна, то и доказательство должно быть одно, потому что во всех треугольниках сумма углов равна двум прямым, и то, чему это свойственно, есть одно и то же во всех своих видах, то есть треугольник, и один и тот же принцип его построения. Точно так же иметь сумму внешних углов, равную четырем прямым, свойственно не только треугольникам, но и всем прямолинейным фигурам, почему соответствующее доказательство подходит для всякой фигуры, если она составлена из прямых линий. 51 И вообще каждое построение имеет в себе некую особенность и свойство, которому причастно все, имеющее отношение к данному построению, например, к треугольнику, к прямоугольнику или вообще к геометрической фигуре.
Во-вторых, математику следует знать, касаются ли его доказательства подлежащей рассмотрению геометрической материи, например, не производит лм он вместо необходимых и неопровержимых построений всего лишь убедительные и полные вероятности. Ведь одинаково неверно, говорит Аристотель, 52 требовать от ритора доказательств и довольствоваться у математика убедительными построениями. И действительно, каждый знаток и человек, искушенный в своем искусстве, должен производить рациональные построения, соответствующие тому предмету, которым он занят. Так, в частности, "Тимей" Платона от исследователя природы требует рациональных построений, соответствующих тому, чем он занят; 53 а от того, кто учит об умопостигаемом и об устойчивой сущности, — требует других: неопровержимых и неподвижных. И это понятно, потому что подлежащее рассмотрению теми или иными науками или искусствами является прямой причиной различия между ними: например, одно неподвижно, другое движется, одно — более простое, другое — более сложное, одно — умопостигаемое, другое — чувственно воспринимаемое. Поэтому, кстати, мы не требуем от всей математической науки одинаковой точности: ведь если одна ее часть так или иначе соприкасается с чувственно воспринимаемым, а знанию другой подлежит умопостигаемое, не могут обе быть точными, но одна — точнее другой. Поэтому мы говорим, что арифметика точнее гармоники, и поэтому же не станем утверждать, что математика и остальные науки пользуются одними и теми же доказательствами: ведь то, что подлежит рассмотрению, создает немалое различие.
В-третьих, мы утверждаем, что тому, кто намерен правильно судить о рациональных построениях математики, необходимо подвергнуть рассмотрению тождество и различие, сущностное и акци дентальное, пропорцию и все прочее такого рода, — потому что почти все ошибки происходят из-за этого у тех, кто полагает, когда при доказательстве в каждом виде принимает тождественное за иное или иное за тождественное, или когда берет акцидентальное как сущностное или сущностное как акцидентальное, например, при доказательстве того, что окружность красивее прямой или равносторонний треугольник — равнобедренного. Не дело математики судить об этом. Поэтому, в-четвертых, — поскольку математика обладает срединным положением между умопостигаемым и чувственно воспринимаемым, и поскольку она обнаруживает в себе как многие образы божественного, так и многие образы физических рациональных построений, — в ней следует усматривать три вида доказательств: приближенные к чистой мысли, более развернутые и соприкасающиеся со сферой мнения.
Доказательства должны различаться сообразно с проблемами и разделяться в соответствии с родами сущего, поскольку сама математика имеет проявления во всех родах и со всеми согласует свои рациональные построения.
_____________
50 Arist. Eth. Nic. 1094b28 sqq.; De part. anim. 639al-5.
51 Morrow отмечает, что такого доказательства нет у Евклида, однако на него ссылается Аристотель (Anal. Post. 85b38, 99al9); Прокл в данном комментарии еще раз упоминает (р. 73) и приводит (р. 382) его.
52 Arist. Eth. Nic. 1094b25-27.
53 Plat. Tim. 29Ь-с:
«Слово о каждом... сродни тому предмету, который оно изъясняет...».
- Войдите, чтобы оставлять комментарии