Анализ апорий Зенона позволил охарактеризовать и по мере возможности воссоздать ту логическую атмосферу, в которой формировалось первоначальное научное понятие (механического) движения. Конечно, было бы наивным думать, что величайшие механики античности вполне сознательно стремились разрешить апорию Зенона — Аристотеля. Дело, конечно, не в этом. «Стрела» или «Дихотомия» скорее всего воспринимались Архимедом и так называемым Псевдо-Аристотелем как нечто умозрительное, как логический курьез. Но те логические трудности, которые лежали в основе этих апорий, та действительная проблема понимания, которая составляла подтекст полемики Аристотеля против Зенона, все это было реально тем логическим «полем», напряженность которого определяла весь процесс сосредоточения, стягивания многообразных донаучных представлений и наблюдений в логическую «точку» научного понятия.
Этот процесс логического «сосредоточения» может быть определен в немногих узловых моментах. Здесь мы рассмотрим лишь одно из направлений формирования конкретно-научного понятия движения — развитие и предысторию принципов Архимеда1.
1. Формирование идеализованного предмета познания
Диалектика формы и функции в действии простейших орудий и элементарных машин древности лежала в основе одной очень характерной идеализации.
Одна и та же форма (скажем, форма топора) выступала в самых различных процессах.
Одним и тем же топором рубили деревья, обтесывали бревна, строили, сколачивали жилище. Функция загоралась и гасла (работа прекращалась), только форма (само орудие) оставалась постоянной потенциальной основой новых и новых действий. Форма выступала как неизменная сохраняющаяся основа бесконечно многообразных и преходящих рабочих процессов.
Эта ситуация (постоянство формы, ее определяющая роль) еще более углублялась при сопоставлении многих орудий, по сути дела, всех орудий античности. Несмотря на все различие внешних форм, «внутренняя форма» (если использовать языковедческий термин Потебни), идеализованная форма всех этих орудий, взятая не как форма покоя, а как форма деятельности, оказывалась тождественной, единой. Этой формой деятельности был принцип рычага.
В «Механических проблемах» неизвестного автора, дошедших до нас в варианте, зафиксированном, вероятно, в Эллинистическом Египте III в. до н. э., и приписываемых (до исследования Таннери) Аристотелю, дается наиболее полное описание и объяснение действия античных орудий2.
Мы не случайно начинаем с анализа «Механических проблем». Кто бы ни был автором этого трактата, его идеи явно и прямо восходят к «Физике» Аристотеля. Логика изложения, терминология, обоснование закона рычага (идея круга) носят откровенно аристотелевский характер. Мы полагаем, что «Проблемы» записаны учениками Аристотеля (IV в. до н. э.), хотя и дополнялись в дальнейшем конкретным материалом. До нас дошел, безусловно, один из позднейших списков. По сути дела неправильно говорят о кинематическом (Псевдо-Аристотель) и статическом (Архимед) вариантах античной механики. Это не варианты, но последовательные моменты развития одних и тех же идей.
Механика Архимеда и исторически и логически вытекает из идейного потока «Механических проблем» и вне этой связи не может быть правильно понята. Говоря об авторе «Механических проблем», Мах отмечал, что Аристотель «умеет распознавать и ставить проблемы, что он видит принцип параллелограмма движения, близко подходит к познанию центробежной силы, но в разрешении проблемы удачи не имеет. Все сочинение носит скорее диалектический, чем естественнонаучный характер, и автор ограничивается только освещением апорий, затруднений, содержащихся в проблемах. Сочинение это, впрочем, прекрасно характеризует интеллектуальную ситуацию, знаменующую собой начало научного исследования»3.
В 36 главах трактата анализируется действие весел и корабельного руля, мачт, парусов, пращи, колодезного коромысла, щипцов, тачек, лебедок, весов, клина (рассматриваемого как соединение двух рычагов), топора, ворота, катков, нагруженного блока. Все эти орудия характеризуются Псевдо-Аристотелем как модификации рычага, основной принцип которого раскрывается в первом параграфе.
Приводимая в движение тяжесть так относится к приводящей в движение, как одна длина к другой, но только в обратном отношении; ведь всегда чем дальше отходит она от точки опоры, тем быстрее движение.
Почти все происходящее при механических движениях возводится к рычагу — такова основная мысль Псевдо-Аристотеля.
В более поздней «Механике» Герона (скорее всего, II в. до н. э.) обзор охватывает также и иные орудия и простейшие машины, но вывод остается прежним: действие орудий сводится (теоретически) к принципу рычага. Причем для античных авторов идея рычага оказывается основой определения именно машины (в ее первоначальном определении), но отнюдь не одних ручных инструментов.
В 10-й книге («Основы механики») трактата Витрувия «Об архитектуре» дано следующее исчерпывающее для античности определение машины: «Машина есть система связанных между собой частей из дерева, обладающая наибольшей мощностью для передвижения тяжестей. Сам же этот механизм приводится в действие посредством круговых вращений...»4
Прежде чем раскрыть теоретическое и методологическое значение этой идеализации («все происходящее в механических движениях сводится к рычагу»), обратим внимание на один момент.
Принцип рычага объединял и передаточный механизм, и машину-орудие, и транспортную машину, переносящую тяжести (террасирование громадных каменных плит, подъем воды для орошения, комбинация рычагов и систем вращательного движения, стенобитные машины). Причем отождествление (в идеализации) двух процессов: транспортного (перемещения) и технологического (прямое воздействие одного предмета на другой: топор, клин, сверло, рубанок) — позволило подойти к существенным методологическим выводам. Напомним, кстати, что в передаточных и транспортных механизмах (взять хотя бы определение машины у Витрувия) принцип рычага выступал явно, обнаженно, а в технологических процессах он был замаскирован, раскрывался только на основе логических идеализаций. Перемещение (с начального места на конечный пункт движения) наглядно выражало сущность не только транспортных, но и технологических процессов.
Теперь, сформулировав эти предпосылки, можно попытаться осмыслить общетеоретические, общелогические возможности, заложенные в идеализированном образе рычага5. Во-первых, идеализация принципа рычага позволяла слить воедино, отождествить идею силы, рабочей машины и идею самого действия, движения. Рычаг выступал формой действия, заключенной в форму движущей силы, и обратной формой движущей силы. Внутреннее членение рычага, соотношение плеч и грузов, движущей силы и силы сопротивления было одновременно внутренним членением самого движения (подъем и перемещение тяжестей, действие клина и т. д.).
Это было крайне важным отличием рычага (как идеальной модели движения и одновременно идеальной модели самой машины) от последующих механизмов позднего средневековья (начиная от механических часов) и нового времени.
В этих, позднейших, механизмах кинематические узлы самой машины и дифференциальная картина движения, вызываемого машиной (к примеру, стрелок часов), а также динамические узлы ее технологического действия резко отделялись друг от друга.
Еще раз повторив (и перефразировав) Гегеля, можно сказать, что в идеализованном образе рычага отождествлялась практическая и теоретическая идея; «секрет» любого движения был вместе с тем «секретом» любой движущей силы. Во-вторых, образ движения, создаваемый на основе идеи рычага, был интегральным образом циклического характера.
Существенной была не дифференциальная картина движения, «засеченная» в каждый момент и в каждой точке (не проблема «Стрелы» и «Дихотомии»), но цельная, замкнутая картина перемещения с одного неподвижного места на другое неподвижное место, на конечный пункт всего процесса движения. «Естественные» места Аристотеля вполне естественно и логично идеализировали реальную деятельность рычага.
Но все сказанное означает, что смена состояний покоя (покоя, чреватого движением, и покоя, замыкающего очередной цикл движения) должна была в этот период становиться основой теории движения. Само понятие перемещения (механического движения) было наполнено в период античности специфическим содержанием. Мы невольно подразумеваем под перемещением непрерывный процесс изменения места в каждый момент времени (в каждое «теперь»). Античное понятие перемещения учитывало лишь два «естественных» места, между которыми происходило движение, направленное к конечной цели (покою) и определяемое этим направлением, этой целенаправленностью. В естественных местах никакого движения актуально вообще не существует (апория «Стрелы» снимается), тут есть лишь тождество покоя и потенциального движения, покоя и завершенного движения.
В-третьих, идея рычага таит в себе понимание движения (естественного), как процесса восстановления равновесия. Именно анализ равновесия, условий его нарушения и восстановления позволяет развить теорию движения как теорию возможных перемещений.
В понятии равновесия, этого исходного понятия статики, состояние покоя раскрывается как система, сгусток бесчисленных потенциальных движений, тождество движения и покоя оказывается основой такого научного понятия, которое и актуально и — особенно — потенциально являлось одновременно теорией.
Все исследователи единодушно отмечают, что первоначальная, несколько туманная формулировка принципа возможных перемещений, т. е. теории движения, как она единственно могла возникнуть в то время, имеется уже у Псевдо-Аристотеля, у Герона, у Архимеда6. Собственно, иначе и быть не могло.
Изучение равновесия путем нарушения этого состояния и подсчета тех перемещений, которые приобретут в результате такого нарушения точки приложения сил, неизбежно должно было привести к самому полному и общему закону статики — к принципу возможных перемещений7.
Для того чтобы понять суть этой логической потенции более ясно и остро, представим себе действие принципа возможных перемещений в более поздних формулировках. Возможны (и могут быть определены) все те перемещения внутри данной системы, которые совместимы с природой ее связей, реализуют потенциальные возможности, заложенные в связях системы.
Вдумаемся в этот принцип несколько детальнее, используя чертежи и пояснения Маха (в его «Механике»), очень четко раскрывающие логическую сторону проблемы.
Если, например, точки системы А, В, С, к которым приложены силы, связаны между собой прямоугольным рычагом, способным вращаться около точки В, то для СВ = 2ВА все возможные перемещения точек С и А есть всегда только дуги круга с центром в точке В, перемещение точки С всегда вдвое больше перемещения точки А и перемещения одной точки всегда перпендикулярны к перемещениям другой.
Если точки А и В соединены нитью длиной в L, которая может скользить через неподвижные кольца С и D, то возможны все те перемещения точек А и В, при которых эти точки могут двигаться по двум шаровым поверхностям, описанными радиусами r' и r" около точек С и D (как центров) или внутри этих шаровых поверхностей, причем
r' + r" + CD = L.
Эти два примера, описанные Махом, нам вскоре пригодятся для дальнейшего анализа тех идеализаций, в ходе которых формировалось понятие механического движения. Пока обратим внимание на одну, логически крайне существенную, сторону дела. В принципе возможных перемещений идея связи оказывается обратной стороной, пространственным, потенциальным воплощением идеи движения.
Логически совершенно необходимо, чтобы понятие движения было впервые научно сформулировано в тождестве с понятием взаимосвязи. Только через понятие связи оказывается возможным дать теорию движения, а не ограничиться отдельным случаем данного, единожды осуществленного движения. Дело в том, что рефлектированное в понятии связи движение раскрывается как возможность, как система возможностей, т.е. становится объектом теоретического познания. Необходимость тождества противоположных определений — сохранения места (покоя) и изменения места (перемещения) — выражает научное понятие механического движения именно потому и именно в той мере, в какой идея покоя представляет собой лишь частный и, так сказать, эмпирически нащупанный вариант идеи взаимосвязи, т. е. потенции движения.
Если взаимосвязь и становление — два противоположных определения движения, то можно утверждать, что сейчас (XX в.) начинает формироваться новая теория движения (т. е. теория потенций движения), заложенная уже не в понятии взаимосвязи, но в понятии становления. Идея кванта действия, идея трансмутации элементарных частиц выражают новую тенденцию. Это уже новый тип потенций, имманентных самому процессу движения, а не состоянию покоя. Можно также предположить, что, поскольку теория типа «взаимосвязь — потенция движения» уже издавна развивается и достигла высокой степени совершенства, постольку теория типа «становление — потенция движения» не разовьется в самостоятельную, отдельную теорию, но, слившись с уже существующим типом теории, даст синтетическую теорию движения.
Итак, если вернуться к основной линии исследования,— идеализация механического движения в образе идеального рычага позволила выделить то состояние («равновесие»), в котором тождество движения и покоя способно было развернуться всеми возможными (для данной системы!) перемещениями. Это означает, что формировалось (пока только формировалось!) понятие, функционирующее одновременно как первый вариант научной механической теории.
Вряд ли стоит специально оговаривать, что понимание идеи рычага как идеи нарушения и восстановления равновесия давало импульс к формированию именно статики, т. е. механики уравновешенных сил, покоящихся точек. (Очень четкое методологическое изложение проблем статики дано Максом Планком в его «Общей механике».)
Собственно, основная задача статики и складывалась на основе рефлексии двух противоположных и вместе с тем (по предмету) тождественных определений движения. Мысль сновала в своеобразном «челноке». Понять движение означает понять его как покой, как связь, понять покой, связь означает понять их как движение, как напряженность, как действие статических сил.
Идея сущности как формы (см. раздел II настоящей части) была сокровенной идеей статики. Статика, возникающая в период античности, это не современная статика, существующая где-то рядом с динамикой как ее частный случай. В период античности статика выступала теоретической основой всей механики, всего понимания процессов механического движения (в динамическом и в кинематическом аспектах). Можно сказать резче. Вся механика, сведенная к статике,— это уже иной (более ранний) период понимания сущности вещей, это уже другая (не классическая) механика, другая форма воспроизведения объективных противоречий движения. Макс Борн в своих замечательных очерках о предыстории теории относительности Эйнштейна пишет:
«Исторически механика берет свое начало из принципа равновесия или статики: построение ее из этого исходного пункта наиболее естественно также и с точки зрения логики...»8
Там же Борн раскрывает особое значение первоначального (характерного для статики, для состояний равновесия) отождествления сил и их действия, аил и движения. Такое тождество пронизывало и понятие веса, и понятие упругой силы — этих двух основных понятий статики.
«Если... состояние равновесия нарушается в результате уменьшения или устранения одной из сил, возникает движение.
Поднятый вес падает, когда рука, поддерживающая его, освобождает его, т. е. когда исчезает противодействующая сила. Стрела летит вперед, когда стрелок отпускает тетиву натянутого лука... Сила стремится создать движение. Это — исходный момент динамики: отсюда начинаются все попытки открыть законы такого рода процессов»9.
К сожалению, ситуация вполне ясная для физиков и механиков (античная статика — это секрет всей античной механики, динамики в том числе) всерьез озадачивает иных историков науки. Не интересуясь формированием и развитием понятий, обращая внимание исключительно на смену эмпирических фактов, они невольно переносят на прошлое, на античную науку, современное представление о соотношении динамики и статики. Пытаясь освободить историю науки от логических умствований, некоторые историки освобождают себя от подлинного историзма.
С особой наглядностью эти исторические «сдвиги» выступали в известном утверждении Розенбергера: «Механика древних распадется на две совершенно отдельные (!) ветви: на статику, трактуемую чисто математически, и на динамику, трактуемую чисто философски»10.
Розенбергер так и не заметил, что, во-первых, чисто философская (точнее, чисто логическая — Аристотеля или Эпикура) трактовка динамики (точнее, проблемы движения вообще) легла в основу коренных идей античной статики. Он не заметил, во-вторых, что сам смысл, точнее, замысел античной статики состоял в объяснении динамики, в создании теории движения.
Вслед за Розенбергером идут и некоторые современные историки механики. Нe обнаруживая в античности связей динамики и статики, как их понимает современная наука, эти историки приходят к выводу о полном отсутствии таких связей вообще. Идея этих рассуждений проста: в элементарном периоде в основном развивалось учение о равновесии тел. Учение о движении тел оставалось в зачаточном состоянии. Между обоими этими разделами механики существовала непреодолимая разобщенность, это были две самостоятельные ветви естествознания.
Но ведь в том-то и состоял секрет античной механики, что учение о равновесии тел было основой учения о движении.
Оставляя пока в стороне механику Архимеда (об этом речь еще впереди), продумаем теперь до конца логику Псевдо-Аристотеля, логику «постановки проблем» и «размышления над апориями механического движения» (вспомним оценку «Механических проблем», данную Махом). Тем самым мы дойдем до конца первого витка той спирали мышления, в которой осуществлялся в период античности генезис научного понятия механического движения.
2. Формирование идеи механического движения.
Генезис понятия как тождества противоположных определений
Цитируя известный афоризм «Механических проблем» Псевдо-Аристотеля, мы сознательно воспроизвели лишь одну небольшую его часть: «Почти все... происходящее при механических движениях... возводится к рычагу».
Процитируем этот отрывок полнее.
«Удивление вызывают из происходящих сообразно природе те явления, причина которых остается неизвестной. Таковы случаи, когда меньшее одолевает большее и обладающее малой силой приводит в движение большие тяжести, и вообще почти все те проблемы, которые мы называем механическими... К затруднениям подобного рода относятся и вопросы о рычаге, ибо кажется несообразным, что большая тяжесть приводится в движение меньшей силой, и это при еще большей тяжести... Начало причины этого заключено в круге и недаром, ибо вполне оправдано, если что-либо удивительное происходит от чего-то еще более удивительного. Но наиболее удивительно совместное возникновение противоположностей, а круг слагается из таковых. Ведь он сразу же возник из движущегося и покоящегося, чьи природы противоположны друг другу».
«Нет ничего несообразного в том, что круг есть начало всех этих удивительных вещей. А происходящее в весах возводится к кругу, происходящее в рычаге к весам, тогда как почти все остальное, происходящее при механических движениях, возводится к рычагу... Многое удивительное происходит с движениями кругов оттого, что на одной и той же линии, проведенной из центра, ни одна точка не движется с равной скоростью, как и другая, но всегда более далекая от неподвижного конца движется быстрее, что станет ясным в последующих проблемах»11.
Следовательно, полный виток античной идеализации механического движения включает (согласно «Механическим проблемам») следующие узлы: многообразие механических движений → рычаг → весы → круг.
Если учесть, что понимание весов носит промежуточный, переходный характер — от идеального рычага к идее круга, — то можно сказать, что понятие механического движения определялось в «Механических проблемах» как своеобразное единство мысленного, идеализованного предмета познания12 — рычага и идеи этого предмета — круга (в других вариантах — диска, шара). Причем эта идеализация носила всеобщий — для античности — характер. Идея Псевдо-Аристотеля выражает общее (для Герона и Архимеда, Евдокса и Арихта, Ктесибия и Витрувия) понимание движения. Правда, это понимание воплощено в «Механических проблемах» с особой афористичностью, продиктованной стремлением именно понять (но еще не рассчитать) сущность движения.
Итак, можно представить следующую схему понимания (понятия) механического движения:
Каково же реальное логическое содержание этой схемы?
Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к образу идеализованного рычага, который выступил перед нами как мысленный предмет познания. Мы подчеркнули уже, какие потенции научной теории движения таились в этом образе, особенно если учитывать сведение самого рычага к образу весов — к идее нарушенного и восстановленного равновесия. Однако, несмотря на все возможности, заложенные в этом образе, идеализованная форма рычага еще не являлась действительным понятием, еще не была зерном научной теории. Пока это было еще только теоретическое представление, только одно из определений научного понятия.
В этом представлении, в этой идеальной модели движения не хватало мысли, идеи. Невесомый рычаг соотносился с действительными, эмпирическими рычагами, выступал их идеальной формой, но эта идеальная форма не могла еще стать основой теории рычага, не была способна количественно и качественно объяснить все возможные случаи перемещения. Все эти случаи сводились к «случаю» идеального рычага, но еще не могли быть (и это крайне существенно) выведены из этой формы — с полной необходимостью и по определенному функциональному закону возрастания скоростей и дальностей перемещения. Рычаг (идеализованный рычаг) сам нуждался в объяснении, должен был выступить не только идеальным отражением предметного многообразия, но и воплощением, воспроизведением определенной идеи. Только в этом случае (понятие как воплощение идеи, как материализация деятельности) общее представление уже перестает быть представлением, а становится одним из необходимых определений научного понятия.
Выше было раскрыто общее, абстрактное, содержание той идеи, которая позволяла обнаружить в образе рычага (точнее, весов) определенную меру движения. Такой идеей был принцип возможных перемещений (зависимость перемещений от структуры связей).
Однако, во-первых, в таком абстрактном виде принцип возможных перемещений еще не мог быть явно сформулирован в период античности. Он выступал как потенция. Для его явного, открытого воплощения (Бернулли, 1717) понадобились обобщения и идеализации всего многообразия механических связей (а не только статических взаимодействий, не только тяжелой и упругой сил).
В явном виде принцип Бернулли мог быть сформулирован тогда, когда все теоремы механики, которые были известны для тяжелых сил, оказалось возможным перенести на силы произвольные13, когда третий закон Ньютона, закон равенства действия и противодействия, был положен на долгие годы в основу теории механических связей. До «Математических начал естественной философии» (1686) идея «связь — движение» не могла стать математически явной, могла носить лишь грубо качественный характер.
Во-вторых, в период античности сам принцип возможных перемещений мог быть уловлен и выражен только как определенная форма. Это отвечало той модели понимания сущности вещей, о которой мы уже достаточно подробно говорили во II разделе II части.
Эта форма должна была служить как бы графической записью тех количественных градаций движения, которые потенциально таятся в связях рычага. Она должна была служить формой (пока еще не формулой) закона механического движения на том уровне понимания, который был характерен для античных ученых. Такой формой, качественно и количественно объясняющей все многообразие механических движений, заложенных в принципе рычага, и была форма круга, диска, шара.
Такой вывод отнюдь не является неожиданным. Что касается качественной картины, то круговое движение плечей рычага (любого рычага, любого рода) воспринималось вполне наглядно и определенно.
В «Механических проблемах» Псевдо-Аристотеля автор прямо формулирует, что находящиеся в равновесии грузы обратно пропорциональны дугам, описанным конечными точками плеч при движении последних. Даже крайне придирчивый Мах не может не признать, что это есть первое выражение принципа возможных перемещений14.
В случае прямоугольного рычага возможными перемещениями оказываются дуги круга с центром в точке опоры (В), В случае связей (точек А и В) через неподвижные кольца (С и D) возможными перемещениями оказываются перемещения точек А и В по двум шаровым поверхностям, описанным радиусами r' и r". Распределение возможных перемещений тел, связанных законом рычага, всегда (как и в приведенных примерах) дает форму круга или шара.
Еще более существенна количественная сторона дела. Геометрия круга позволяет распределить возможные скорости перемещения грузов в определенной, количественно строгой зависимости от длины плеч рычага. Вспомним снова идею Псевдо-Аристотеля о связи образов рычага и круга. Приведем изложение этой идеи у В. П. Зубова: «Чем дальше точка круга отстоит от его центра, тем быстрее она движется при вращении, тем более длинный путь она проходит за то же время. Точно так же, чем дальше отстоит конец рычага от оси вращения, тем быстрее он движется. Поскольку, далее, скорость движения обратно пропорциональна тяжести тела, постольку отсюда выводится (в «Механических проблемах») закон рычага: для равновесия необходимо, чтобы к точке, движущейся с большей скоростью, был приложен меньший груз. Автор «Механических проблем» заключает: «Под действием одной и той же силы точка, отстоящая дальше от центра, перемещается быстрее и большая линия описывает большую дугу». Той же зависимостью должен быть объяснен процесс взвешивания (хотя бы на безмене). Под действием одной и той же тяжести концу коромысла необходимо двигаться тем быстрее, чем дальше отстоят он от веревки (от точки подвеса), а оттого в больших весах гораздо значительней становится величина тяжести, производимой тем же грузом»15.
Сейчас нет возможности дальше углубляться в эти соображения. Важно было лишь подчеркнуть, каким образом идея (форма) круга оказалась формой закона возможных перемещений, совершаемых посредством рычага.
Вернемся теперь к схеме понятия механического движения.
Тождество идеального рычага (мысленный предмет познания) и кинематически осмысленной формы круга (идея предмета познания), тождество механики и геометрии дает живое, способное к развитию, объясняющее бесчисленное множество частных случаев понятие движения (перемещения).
Впрочем, утверждение о подвижности, действенности этого понятия, об его способности к логической конкретизации пока еще звучит декларативно. Пока еще намечено только «статическое» тождество модели рычага и идеи круга, поскольку не вскрыты пути взаимоперехода, взаимоперелива, этих двух определений научного понятия движения. Между тем именно в этом взаимопереходе и переливе оба полюса постоянно обогащаются, понятие обнаруживает свою нетождественность с самим собой, оказывается развивающимся, «неуравновешенным», т. е. понятием в собственном смысле слова.
Строго говоря, для удобства изложения мы несколько упростили, огрубили реальный процесс формирования понятия движения. Могло создаться впечатление, что сначала сформировался мысленный предмет познания, а затем, в заключение, оформилась геометрическая идея движения (круг). В действительности дело обстояло иначе.
Само формирование модели идеализованного рычага проходило под воздействием складывающейся идеи круга. Многообразие рычагов и перемещений, форм и функций сосредотачивалось в образе рычага не в порядке обобщения и отвлечения, но в порядке идеализации всех этих движений. Стержнем этой идеализации и была идея круга, постепенно проясняющаяся геометрия движения (зависимость скорости от длины плеча, от расстояния до центра круга, до точки опоры). В реальном движении рычага вырисовывалась та идеальная фигура, которая «вычерчивалась» в воздухе его плечами, тот «круг кругов», который был одновременно: и формой движения и его объяснением. Множество различных рычагов необходимо тут было не для обобщения, а для наведения на мысль, для того чтобы после многих «намеков» разглядеть идеальную сущность, форму, заключенную в каждом отдельном случае. Идеализованный образ рычага оказывался мысленной реализацией идеи круга, и вместе с тем этот образ служил основой, источником формирования идеи круга как идеи движения. Этот взаимопереход мысленного предмета познания и идеи предмета познания не остановился в момент становления понятия, он и дальше определял всю жизнь и развитие понятия движения, его реальное живое тождество.
Однако, чтобы представить эту реальную жизнь понятия более содержательно и конкретно (логически конкретно), необходимо, чтобы читатель учитывал два момента, остановиться на которых подробнее не представляется возможным.
Первый момент. Наивным было бы думать, что идея круга как идеальной формы перемещения вырастала только из формы рычага, только вместе с этой механической«формой форм». Логика, наблюдения и без всякого рычага постоянно укладывала, «упаковывала» любые предметы в идеальную, наиболее компактную форму шара. Горизонт, окруживший землю, круговые движения светил, постоянный практический опыт, интуитивно складывающийся в какое-то подобие изопериметрической теоремы, — эти соотношения и пропорции оформлялись в такую картину мира, в которой проблема идеальной формы сама собой перерастала в проблему геометрии шара.
Но все же это был только некий космологический и психологический фон, благоприятствующий той основной логике понимания вещей, которая определена нами выше. Эта логика понимания воспроизводила логику предметной деятельности, была мыслительной проекцией материального трудового процесса.
Второй момент. Необходимо хотя бы вкратце набросать ту категориальную структуру, которая характерна для развертывания понятия движения на этом первом этапе развития механики16. Такой набросок необходим, поскольку на его основе становится ясным, что понятие, воспроизводящее движение,— это процесс, движение понятий, их превращение, подчиненное определенному закону, определенной категориальной связи.
Такой набросок возможен потому, что его черты можно разглядеть уже в той характеристике идеализованного предмета познания (рычаг) и идеи, раскрывающей этот предмет как систему возможных перемещений (круг), которая была дана на предыдущих страницах.
Вот основные узлы такого наброска.
1. В античном варианте механики понятие движения содержит следующую схему теории движения.
Первый цикл понимания движения может быть представлен в форме В → D (взаимосвязь → движение).
Исходным моментом, объясняющим фактором в этом цикле выступает статическая взаимосвязь сил, форма рычага. Именно эта форма потенциально таит в себе любое движение, любой вариант реального перемещения. В аристотелевской системе это означает, что космическое расположение тел, их место определяет характер их потенциального движения.
Второй цикл понимания движения исходит уже из самого процесса движения, из самой деятельности рычага.
Рычаг как бы чертит в воздухе (в пространстве воображения) «круг кругов», дает в совокупности своих движений застывшую взаимосвязь, структуру концентрических окружностей.
Движение рычага застывает в «чертеже» осуществляемых им перемещений. В этом (мысленном) результате движение уже есть, существует, оно не осуществляется, не потенциально, но осуществлено, снято.
Этот цикл понимания движения может быть представлен в форме D → В’ (движение → взаимосвязь «высшего» порядка, взаимосвязь концентрических окружностей на воображаемом чертеже, «прочерченном» всеми возможными движениями рычага).
Но в этом застывающем чертеже («круг кругов») по сути дела вновь реализуется движение, но уже как определенная математическая последовательность.
Тут выступает как бы третий цикл понимания движения.
Взаимосвязь концентрических окружностей расшифровывается как «движение движения», как закономерность изменения скорости движения (в зависимости от соотношения грузов и плечей рычага).
В целом, логический «челнок» дает следующую форму, результирующую все моменты понимания движения.
B → D → B’ → D’
Конечно, набросок этот неизбежно схематичен, как схематично, впрочем, по самой своей сути понимание сущности движения на этом этапе развития научной мысли.
Но все же и в таком схематизированном виде этот пунктир позволяет уловить важнейшую тенденцию дальнейшего развития и превращения теории движения.
2. Для научной модели движения на данной ступени развития науки, т. е. в период античности, характерно не-расчлененное качественно-количественное тождество. Количественные определения еще не отделились от качественных, еще не способны к самостоятельному существованию. Однако и качественные определения выступают в неразрывном единстве с количественными, в форме количественных определений.
Тут опять-таки все дело именно в форме, в понятии формы. Идеальная форма вещей, т. е. их сущность в античном понимании, определяет непосредственное тождество качественно-количественных определений; определяет количество, наглядно, качественно представляемое.
Возьмем для иллюстрации пифагорейскую арифметику в интересной логической интерпретации Э. Кольмана.
«Пифагорейцы изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры. Так возникло понятие «фигурных чисел», в котором нашла свое отражение тесная связь, существующая между понятиями числа и пространственной протяженностью. Например, «квадратные числа» 1, 4, 9 изображались так:
Треугольные числа 1, 3, 6 представлялись в таком виде:
....точка, изображающая единицу, была далее неделима — она была математическим атомом.
Сама точка определялась как единица, обладающая положением...
...Среди чисел-сумм пифагорейцы выделяли «многоугольные числа». Наиболее простыми из них были «треугольники» (1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10...). Из «треугольных чисел» пифагорейцы получали и все квадратные числа, способом, который указан на чертеже
Таким же способом получались «пятиугольные числа» и т. д.»17.
Ссылка на идеи пифагорейцев очень полезна.
Теперь читатель наглядно может представить то внутреннее логическое сродство геометрических и арифметических представлений, которое было характерно для мышления древних греков. Это единство не имело чисто количественного, математического характера (как можно было бы предположить, исходя из современных представлений о предмете математики). В древности это единство опиралось на понятие формы, идеальной формы, лежащей в основе качества вещей, и непосредственно совпадало с категорией меры.
В этом рациональная основа пифагорейской «мистики», столь часто искажаемая современными исследователями.
Поэтому нельзя полностью согласиться с Э. Кольманом, который утверждает, что для пифагорейцев был характерен приоритет арифметики над геометрией. Впрочем, такая аберрация вполне объяснима. Стоит не заметить особого значения формы в гносеологии греков, и все действительные логические отношения легко приобретают превращенный характер.
И, наоборот, стоит внимательно разобраться в гносеологическом значении идеи формы для древних греков, и сразу же открывается путь в тайны логического «механизма» механики Архимеда. А проникнуть в эти тайны крайне необходимо. Ведь именно эта ветвь античной механики и была действительной положительной наукой, именно в ее контексте понятие механического движения стало работающим, действующим и развивающимся научным понятием.
3. Как понятие движения «работает» в механике Архимеда
Читатель. Неужели Вы всерьез полагаете, что в сознании античных ученых существовало то понятие механического движения («идеальный рычаг — форма круга»), о котором шло все время предыдущее рассуждение? В самом деле, насколько известно, нет ни одного механика или математика античности, формулирующего такое странное, «гибридное», понятие.
Любой ученый и вообще любой гражданин древнегреческого полиса или эллинистического государства на вопрос, что такое движение, или на вопрос, как он определяет движение, ответил бы, не мудрствуя лукаво, примерно так же, как ответили бы и мы — люди XX в.: «Это — изменение телом своего места, или величины, или качества. Непрерывное изменение каких-то состояний и есть движение». Вот и все. Получается, что и у нас, и у древних греков понятие о движении остается одним и тем же, неизменным, неподвижным.
Но даже если оставить в стороне «любого гражданина» и рассмотреть только научные труды, мы не увидим ничего похожего на то странное образование, которое Вы выдаете здесь за действительное и действующее «научное понятие» движения. Ничего себе — «всеобщее» понятие, которое никто не использует и никто не осознает! Остается предположить, что оно существует в сознании людей как кантовская «вещь в себе».
Правда, Вы приводили кое-какие примеры и рассуждения древних, но может показаться, что все эти примеры не больше, чем просто примеры: они иллюстрируют, но не доказывают. Рассуждения о рычаге и круге есть рассуждения о рычаге и круге, о тех или других машинах, о тех пли других (объяснимых по схеме рычага) механических орудиях, но отнюдь не о понятии механического движения, не о понимании того, что есть движение.
Автор. Все Ваши возражения объясняются очень просто. В данном случае Вы по-прежнему путаете понятие с формальной дефиницией. Конечно, нелепо было бы полагать, что на вопрос: «Что такое движение?» — в античных трудах будет прямой ответ: «Движение — это тождество...» и т. д. Прежде всего такой ответ был бы бессмысленным по существу. Понятие движения — это ответ не на вопрос об определении факта движения, а на вопрос о сущности движения, т. е. на вопрос, как и почему движение (это самое эмпирически наблюдаемое движение) возможно и в чем состоит действительная всеобщность любых его форм.
Ясно, что все рассуждения о движении как непрерывном изменении чего-либо (например, места) совершенно не отвечают на вопрос о сущности, а подмена термина «движение» термином «изменение» только смещает проблему в новую плоскость, но не разрешает ее.
Это во-первых. Во-вторых, понятие движения и нельзя надеяться (особенно для античного периода) встретить в виде откровенной формулировки, в виде одиночного суждения. Работающее понятие всегда выступает в форме теории. Только внимательно рассмотрев теорию в ее внутренней логике, в ее системности, мы обнаруживаем понятие, дающее подлинное единство этой теории и ту идеальную модель познаваемого предмета, «сведение» к которой всех частных «случаев» (точнее, выведение из которой всех частных «случаев») и составляет секрет любой теории, любого способа понимания.
В «Механических проблемах» Псевдо-Аристотеля, где это понятие только формировалось, но еще не работало, оно могло выступать обнаженно и афористично. В подлинно научных трудах по механике или геометрии понятие движения выступает как способ понимания, как теория, как процесс и может быть уловлено и «засечено» только в процессе своей работы.
Вот почему мы и рассмотрим сейчас «работу» научного понятия движения в механике Архимеда. Это и будет действительным ответом на сомнения оппонента.
Характернейшей чертой механики Архимеда является как раз постоянная рефлексия механических проблем в проблемах геометрических и обратно — проблем геометрических в механических. Механика используется как способ решения геометрических задач, геометрия — как способ решения задач механических. В трудах Архимеда осуществляется постоянное обращение понятия. То рычаг, то круг исполняют функцию предмета познания (идеализованного предмета), то круг, то рычаг выступают вместе с тем в роли идеи этого предмета, в качестве способа объяснения, в качестве метода. Именно в таком постоянном обращении понятие механического движения и существует реально. Именно в этом обращении осуществляется действительное тождество двух определений движения, понятие выступает как научное понятие, способное развернуться в теорию.
Создатели двух величайших систем механики — Архимед и Ньютон — вполне понимали значение этого обращения понятий, этой постоянной рефлексии между геометрической и механической проекциями понятия механического движения. Ни Архимед, ни Ньютон никогда не ограничивались пониманием механики как части геометрии, они одновременно понимали геометрию как часть, сторону, проекцию механики.
Архимед в письме к Эратосфену предупреждал, что он исследовал математические задачи средствами механики.
Ньютон в предисловии к первому изданию «Начал» писал:
«Ведь и само вычерчивание прямых линий и кругов, на котором основана геометрия, относится к механике... Вычерчивание прямых линий и кругов, правда, тоже задача, но не геометрическая. Решение таких задач требуется от механики, в геометрии же научаются пользоваться результатами этих решений... Итак, геометрия опирается на механическую практику и есть не что иное, как та часть всеобщей механики, которая точно излагает и доказывает искусство измерения»18.
Раскроем теперь реальное содержание сформулированных выше тезисов.
В «триаде» «Механических проблем» «рычаг — весы — круг» весы не случайно занимают центральное, промежуточное место. Теория весов, теория равновесия играет роль перелива, перехода от понятия рычага к понятию круга, от понятия круга к понятию рычага, от механики к геометрии и обратно. В теории весов идеи рычага и круга выступают в непосредственном тождество, но не в абстрактном, спокойном тождестве, а в подвижном, развивающемся. Понятие весов, замещая понятие рычага (ср. хотя бы анализ безмена в «Механике» Галилея), явно вводит количественные соотношения, соотношения взвешивания, а не передвижения, измерения, а не технологических эффектов. Тем самым проблема «статика-динамика» выступает как проблема «статика-геометрия», как соотношение «форма — число», как качественно-количественное отношение. Решающее логическое значение приобретает категория меры, этот основной принцип построения античных, относительно замкнутых научных систем.
Вот почему исходным моментом механических и чисто геометрических построений Архимеда оказывается понятие центра тяжести. Вообще-то говоря, если рассуждать эмпирически, этот факт едва ли нуждается в развитии и обосновании.
В центре внимания Архимеда стояли статические задачи: «Расчет равновесия тяжелых подпертых тел — балок, стропил, колонн, плит, расчет равновесия подвешенных тяжелых тел (мостов, весов), расчет равновесия плавающих тел — судов...»19. Именно эти проблемы исследуются, по Герону, в не дошедших до нас трудах Архимеда «Книга опор» и «О весах». Вполне понятно, что все эти исследования естественно и неизбежно приводили к анализу понятия центра тяжести и на этой основе — к анализу условий нарушения и восстановления равновесия. В книге «О весах» Архимед находит общий критерий равновесия подвешенного тяжелого тела. Центр тяжести такого тела должен быть расположен на отвесной линии, проходящей через точку подвеса.
Само определение (понимание) центра тяжести, характерное для Архимеда, пожалуй, лучше всего проясняет Галилей в своей механике. Основатель механики нового времени глубоко и как-то интимно, изнутри понимал логику рассуждений Архимеда. По признанию самого Галилея, его учение о движении, построенное на положениях геометрии, восходит к Архимеду. Сальвиати говорит: «Я преодолел в конце концов затруднения (с истолкованием определений Эвклида) лишь благодаря тому, что, изучая чудесные «Спирали» Архимеда, нашел в прекрасном введении к этому трактату доказательство, подобное предложенному нашим автором»20, или в другом месте: «Сочинения самого Архимеда я читал и изучал с бесконечным удивлением»21. Логические линии обеих механических систем — Архимеда и Галилея — выходили из одной точки (проблемы), хотя затем расходились в противоположных направлениях.
В «Механике» Галилей пишет: «За центр тяжести в каждом теле принимается такая точка, вокруг которой расположены части с одинаковыми моментами так, что если представим себе, что тяжелое тело подвешено и удерживается за эту точку, то части справа будут уравновешиваться частями слева, части спереди — частями сзади, части снизу — частями сверху и тяжелое тело, будучи поддерживаемо таким образом, никуда не отклоняется, а помещенное в какое угодно положение будет в нем оставаться, если только подвешено за центр...»22
В этом определении только указание на равенство моментов было неявным для Архимеда. Все остальные логические ходы («если представим себе, что тяжелое тело подвешено...») полностью отвечали логике Архимеда.
Правда, дальнейшее галилеевское развитие этих идей путем анализа соотношения центра тяжести тела и центра «всех тяжелых вещей» (центра Земли), путем анализа законов падения выходило за пределы логики Архимеда. Это развитие вообще выходило за пределы античной логики движения. Но само по себе рассуждение об уравновешивании всех сил и тяжестей вокруг постоянного центра («части справа уравновешиваются частями слева, части снизу — частями сверху», само это рассуждение своим наглядным и качественным характером вполне отвечало основным идеям Архимеда.
Устанавливая центр тяжести тела, мы как бы мысленно приравниваем любое тело к шару или диску, «перераспределяем» (опять мысленно) все его «части» и на этой основе получаем возможность количественно (геометрия круга, учет «моментов») подойти к решению всех статических проблем. В неявном виде идея «момента» была характерна для Архимеда, который всегда исходил из того, что способность силы повернуть (в весах) тело вокруг фиксированной оси измеряется произведением этой силы на расстояние от опоры до точки подвеса.
Идея центра тяжести, сводившая воедино модели рычага, весов и форму круга, приобретала громадное методологическое значение и позволяла решить все апории движения с той степенью понимания, которая была возможна в эпоху античности. Тут была и задача начала движения, и задача конца движения, и задача скорости движения, его времени, и задача реального отождествления силовых и геометрических характеристик (принцип рычага), и, наконец, чисто геометрические задачи, решаемые (принципиально) механическим способом.
Особое методологическое значение имеют два типа архимедовых задач: задачи механические, решаемые геометрическим способом, и задачи геометрические, решаемые на основе принципов механики (идей «взвешивания»). Каждый раз основой решения тех и других задач оказывалась идея центра тяжести. Именно эта идея позволяла осуществлять обратную связь механики и геометрии.
В дошедшем до нас трактате «О равновесии плоских тел» Архимед дает общую теорию статики (точнее, механики в целом) на основе «скрещения» двух, казалось бы, частных проблем. Решение задач на нахождение центра тяжести треугольника, параллелограмма, трапеции, многоугольника, плоских фигур, ограниченных кривыми линиями, соединяется в этом труде с выводом закона рычага. Сам тип этой теории совсем не похож на тип и стиль современных теорий. Теоретический, замкнутый характер построениям Архимеда придает не логическая «непрерывность», не формальная всеобщность, но именно «сопряжение» двух образцов частных задач. Сопряжение это осуществляется в одной логической точке, в понятии «центра тяжести»,
Единство теории прямо выступает как единство метода.
Единый метод решения задач на построение (фигур и механизмов) это и есть теория античной механики, теория, в которой «теоретическая» и «практическая» идеи выступают в органическом тождестве.
(Только в этом пункте наших размышлений оказалось возможным ощутимо показать действительный характер этого тождества, о котором в предыдущем изложении приходилось говорить — и не раз — в самых общих чертах.)
Обоснование Архимедом закона рычага исследовано в науке с самых различных сторон. Обратим сейчас внимание лишь на следующие моменты.
В допущениях (постулатах), на которых строится основной вывод, по сути дела обосновывается возможность применить к исследованию закона рычага принципы нахождения центра тяжести, т. е. возможность дать геометрическое толкование механическим проблемам. Так, в допущении первом говорится, что «равные грузы, действуя на равных расстояниях от точки опоры невесомого стержня, уравновешиваются». В допущении третьем допускается, что «при равных грузах, расположенных па неравных расстояниях от точки опоры, перевешивает отдаленный». В допущении четвертом (пожалуй, наиболее существенном) указывается, что «действие одного груза может быть заменено действием нескольких равномерно распределенных так, что центр тяжести занимает неизменное положение. Обратно, несколько равномерно распределенных грузов можно заменить одним, подвешенным в их центре тяжести и имеющим вес, равный сумме этих грузов».
Такой подход к изучению рычага оказывается строго научным именно в той мере, в какой он позволяет геометрически представить статические моменты, отождествить образ равновесия с образом равенства расстояний (радиусов) до центра круга. Иными словами, постулаты Архимеда как раз и раскрывают необходимость постоянной рефлексии задач механических и задач геометрических. Расчет центра тяжести различных фигур позволяет (если исходить из постулатов) нащупать способы количественного определения условий равновесия для самых различных сочетаний длины плеч и величины грузов рычага.
Если учесть эту особенность допущений Архимеда, то вывод закона рычага оказывается кристально ясным (теоремы 6-я и 7-я).
Закон рычага гласит, что «соизмеримые (и несоизмеримые) грузы уравновешиваются на расстояниях, обратно пропорциональных их весам».
Вывод этого закона как раз и осуществляется за счет «рассеяния» неравных грузов на более легкие, равные части с соответствующим удлинением короткого плеча.
Получается, что любой неравномерный, уравновешенный безмен тождественен однородному стержню, подпертому (или подвешенному) в середине (в центре тяжести), при равномерном «рассеянии» общей нагрузки.
К рычагу, плечи которого относятся как 1:2, подвешиваются грузы в отношении 2:1. Груз 2 замещается двумя грузами 1, которые оба подвешены на расстоянии 1 от точки привеса. Снова осуществляется полная симметрия около точки (подвеса), а следовательно, равновесие
Характерно, что Мах, излагая вывод Архимедом закона рычага, крайне недоволен недостаточностью аргументации. Ему представляется, что допущения Архимеда основаны на чисто интуитивных, ненаучных представлениях, а поэтому и весь вывод повисает в воздухе.
Требуется, по мнению Маха, еще доказать, что грузы на равных плечах должны уравновешиваться, что на рычаг не влияют другие внешние факторы и т. д.
Мах не замечает, что постулаты Архимеда, отсылающие читателя к идее центра тяжести, т. е. в конечном счете к геометрии круга и шара, уже несут в себе строго количественный подход к проблеме рычага, содержат не интуитивные предположения, но работающий аппарат измерения. Намертво привязанный к одному (классическому) типу научных теорий, Мах не может подметить всего своеобразия метода Архимеда. Набор задач на нахождение центра тяжести представляется ему странным, посторонним привеском к теории рычага, и он готов во имя экономии мышления отбросить эту «вычислительную роскошь». Но это означает, что Мах готов выбросить из теории рычага саму логическую суть, все средоточие этой теории.
Интересно, что Мах так и не нашел ни одного возражения, когда итальянский исследователь Г. Ваилоти подметил порочность этой странной «экономии». Ваилоти показал, что Архимед вполне сознательно вывел принцип рычага, основываясь на общих данных опыта относительно центра тяжести.
В ответ Мах заметил лишь, что хотя Ваилоти прав, но «для меня (Маха.— В. Б.) маловажно, прав ли я в каждом своем слове»23 (!?).
Вряд ли можно сомневаться, что речь тут шла не о слове, но о самой сути дела.
Нетривиальность метода Архимеда в том-то и состоит (это понял Галилей), что идея центра тяжести позволила механические задачи решить методом геометрии. Иными словами, оказалось возможным выражать определения движения в понятиях состояния (статика) и, далее, в понятиях геометрических, открывающих путь к точному измерению. Вместе с идеей центра тяжести в понимание движения была введена категория возможности. Понятие движения могло теперь развиться в теорию движения.
Еще более явно метод (=теория) Архимеда выступал в обратных задачах — при использовании механических понятий для решения геометрических проблем. Речь идет прежде всего о письме Архимеда Эратосфену (так называемый «Метод»).
Сам Архимед пишет: «Многое, что я выяснил раньше при помощи механики, я потом доказал посредством геометрии, ибо мои рассуждения, основанные на этом методе, не были еще доказательствами; легче, конечно, найти доказательство, когда мы посредством этого метода составим себе представление об исследуемом вопросе, чем сделать это без такого предварительного представления»24.
Суть дела заключается в том, что Архимед нашел формулу площади параболического сегмента, объем шара, объем и площадь многих других тел с помощью мысленного уравновешивания фигур известного и неизвестного объемов на плечах идеального рычага. Самое главное, что на основе этого механического метода был найден своеобразный вариант интегрального исчисления.
Интереснее и глубже всего метод Архимеда анализирует Пойа в своей замечательной книге «Математика и правдоподобные рассуждения». Пойа утверждает, что в этом случае «одно из величайших математических открытий всех времен (речь идет об интегральном исчислении.— В. Б.) имело своим источником физическую интуицию»25.
С этим утверждением можно целиком согласиться, с одним только, может быть, решающим уточнением. Под «физической интуицией» Пойа разумеется нечто неопределенное, основанное на догадке, аналогии, связанное с перепрыгиванием через необходимые логические звенья. В действительности письмо Архимеда дает редкую возможность проникнуть в собственно логическое движение — в «интимный» процесс мысленного преобразования идеализованных предметов. В ходе такого преобразования идеализованные предметы обнаруживают те свои качества и свойства (=приобретают их), которые до этой трансформации они не имели.
Именно так совершается акт любого научного открытия, но осознание этого метода (отнюдь не частного по своей природе, но всеобщего метода логического движения) до сих пор остается еще проблемой, нерешенной задачей. Сам Архимед, рассказав о применении этого метода, осторожно предупреждает об его «недостаточной доказательности», «предварительном характере» и т. д. Опасный рефлекс отождествления логики с формальной логикой уже начинал действовать, но, к счастью, не был еще окончательно закреплен.
Анализ Пойа, при всей недоговоренности его формулировок, является блестящим примером проникновения в эту действительную, предметную жизнь научного понятия.
Архимед исходил, как показывает Пойа, — из достижений Демокрита, нашедшего объем конуса (⅓ объема цилиндра с той же высотой и основанием) и Эвдокса, доказавшего это утверждение Демокрита методом «исчерпания», исследуя изменение поперечного сечения конуса. Архимед совмещает сначала плоские фигуры — поперечные сечения шара, конуса и цилиндра. Далее он начинает «взвешивать» (мысленно или на чертеже») эти плоские срезы. Диск, составляющий поперечное сечение цилиндра, он оставляет на месте, в первоначальном положении. Диски, образованные поперечным сечением шара и конуса, он перемещает по оси X в точку Н, подвешивая их в этой точке вертикально, с помощью нити нулевого веса.
Ось X Архимед рассматривает как рычаг, жесткий брус нулевого веса, а начало О — как его точку опоры, или точку подвеса. Момент двух дисков в левой стороне равен моменту одного диска в правой, следовательно, рычаг (на основе закона Архимеда) находится в равновесии.
С постепенным движением нашего «среза» по оси X мы получаем все поперечные сечения цилиндра. Эти поперечные сечения заполняют цилиндр. Каждому из них соответствуют два поперечных сечения тел, подвешенных в точке Н. Как и их поперечные сечения, шар и конус, подвешенные в точке Н, находятся в равновесии с цилиндром. Поскольку площадь поперечного сечения шара (окружность) известна — открыта самим Архимедом, — то интегральным суммированием всех «уравновешенных» (с цилиндром) поперечных сечений шара и конуса можно найти объем шара (V).
Механика оказалась методом решения геометрических проблем.
Понятие движения, приобретая методологический статут, становится действительно работающим понятием. Причем эта способность понятия к постоянному взаимопревращению и углублению его противоположных определений (мысленного предмета познания и идеи этого предмета) и свидетельствует о завершении генезиса понятия на этой первой, исходной ступени развития механики как науки.
Но живое, действенное тождество противоположных определений понятия как элементарного акта предметной деятельности — только одна сторона дела.
Второй стороной того же тождества является категориальное тождество.
Мы видели выше (раздел II части II), что в механическом движении тождество противоположных категориальных определений выступает (на основе античной логики) как: а) тождество формы и функции и как б) тождество процесса движения с возможностью и одновременно с результатом движения. Если объединить оба эти момента, то окажется, что такое тождество реально означало создание первого геометрического варианта механики.
Геометрическая, пространственная трактовка процессов движения на этом не исчерпывалась. Она стала необходимым (на два тысячелетия) способом определения действительности движения через его возможность, обеспечила проникновение в сущность движения, дала теорию движения.
Однако в античном варианте механики «центр тяжести» этого отождествления лежал именно в центре тяжести, т. е. в статических идеях. Процесс движения угадывался в той системе взаимосвязей, в той форме (рычага), которая должна была объяснить все возможные перемещения предмета.
Законы движения понимались прежде всего как статическая возможность движения. Второй полюс этого тождества — снятое движение; результат движения в статике фактически не работал и учитывался лишь натурфилософски — в «иерархии мест» — этом интегральном аристотелевском представлении.
Такая ситуация, несмотря на все свои преимущества (способ определенного, хотя исторически ограниченного «решения» апории Зенона — Аристотеля), таила в себе смертельные угрозы для только что сформулированного понятия (теории) движения.
Во-первых, исходная идеализация была крайне ограниченной, жестко связанной лишь с определенными формами движения, с определенными ситуациями предметной деятельности (рычаг — весы).
Во-вторых, эта идеализация (тело сохраняет состояние покоя, пока другое тело не выведет его из этого состояния, движение «самоисчерпывается», когда тело вновь уравновешивается) требовала чисто эмпирического или чисто телеологического объяснения причин начала движения, будь то насильственное нарушение равновесия или аристотелевский перводвигатель.
В-третьих, неспособность фиксировать и измерять движение в его результате — в траектории «летящей стрелы» — жестко ограничивала механику чисто интегральными образами. Дифференциальное представление движения, когда каждый момент перемещения мог бы быть зафиксирован как момент начала (возможности) и момент конца (результата) определенного процесса,— такое дифференциальное представление было принципиально невозможным.
Иными словами, античный вариант геометризированной механики не мог работать в качестве меры движения.
Тут мы подходим к существенному моменту.
По сути дела, противоречия научной теории (соответственно понятия) всегда функционируют и развиваются как противоречия меры, как противоречия качественно-количественной определенности.
Именно в той мере, в какой теория воспроизводит меру предмета (меру движения), она воспроизводит предмет как нечто особенное, ограниченное, замкнутое, способное к саморазвитию и самовоспроизведению. Иными словами, противоречия предмета постоянно воспроизводятся (в мере) по какому-нибудь особенному, специфическому закону. Причем сама эта мера обнаруживает себя не только как тождество количественной и качественной определенностей, но как мера чего-то «третьего» более глубоко заложенного, единого — как мера движения, мера деятельности. Осуществляется переход к сущности. Так, в первой главе «Капитала» единство меновой и потребительной стоимостей, воплощенное в товаре, раскрывается как мера деятельности, мера (единство) абстрактного и конкретного труда. Меновая стоимость — момент товарного обращения — оказывается лишь проявлением стоимости, которая характеризует товарное производство.
Любая современная научная теория выступает работающей и способной к развитию (в определенных пределах) мерой движения. В третьем разделе будут детально рассмотрены возникающие здесь антиномии. Сейчас укажем только на один момент: антиномический характер развития всех этих теорий предопределен изначальным стремлением трактовать «измерение» движения как измерение пространства.
Поскольку античный вариант механики не мог работать в качестве такой самовоспроизводящейся меры движения, постольку каждый новый (не сводящийся к рычагу) эмпирический случай движения разрывал теорию, компрометировал ее, возвращал исследователя к безмерному. Каждый новый вариант движения расщеплял отождествленные противоположности (покой и движение, потенцию и процесс), распределяя их по разным предметам, по различным предметным ситуациям.
Понятие (теория) не может развиваться вне разветвления, раздвоения, конкретизации изначального противоречия. Понятие (теория) не может развиваться, если при всех этих раздвоениях и разветвлениях понятие не сохраняет первоначального тождества, иными словами, если теория не сохраняет формы понятия.
Развитие механики Архимеда приводило к ее гибели (в качестве всеобщего метода), поскольку это развитие приводило к разрыву первоначального понятийного тождества, к разрыву меры.
Неизбежен был переход к новому типу развития понятия (теории).
Эта новая форма могла быть обретена только как новое содержание — на основе дифференциальных представлений, позволяющих учитывать и измерять движение по-прежнему в геометрической проекции, но уже в каждый данный момент, в каждой точке бесконечной (теоретически бесконечной) траектории.
Это новое понятие могло быть сформулировано только в процессе самой предметной деятельности, общественного производства — на новой, высшей ступени его развития.
Но это уже иной вопрос — вопрос о формировании и развитии классической механики.
* * *
Сформулированные нами соображения являются в той же мере выводами, в какой — предположениями. Они основаны только на анализе первоначального генезиса научного понятия движения (в механике).
Это генезис протекал в «до-теоретической атмосфере». Первое научное понятие и первая мера движения сформировались из безмерного, в процессе первоначального отождествления противоположностей.
Эта мера была еще столь непрочной, столь неспособной к саморазвитию (в качестве всеобщей теории движения), что при первых же потрясениях вновь растворялась в безмерном. Всеобщее теряло форму особенного и сразу же теряло статут работающей теории.
Вместе с тем эти особенности первоначального формирования и развития научных понятий обнажают с особой резкостью и наглядностью некоторые всеобщие закономерности решающих научных переворотов.
Однако для того, чтобы эти закономерности выявить и определить с большей отчетливостью, необходимо осмыслить другие узловые пункты движения научного понятия (и научной теории).
Предлагаемой идеализации предстоит очень важная проверка, так сказать, испытание «на разрыв», на перерыв постепенности.
Если историческое движение науки действительно воспроизводимо — в элементарной, идеализованной форме — как развитие научного понятия, то это означает, что качественные изменения в науке, в частности переход от старой теории к новой, возможно понять как процесс превращения понятия.
____________
1 В других направлениях этого логического процесса понятие рычага и некоторые другие анализируемые нами понятия, конечно, не играли собственно логической роли.
2 В дальнейшем анализ «Проблем» осуществляется по тексту, опубликованному в кн. В. П. Зубова и Ф. А. Петровского «Архитектура античного мира» (М., 1940). См. также анализ этого трактата в «Механике» Маха (СПб., 1909), «Очерках развития основных понятий механики» А. Т. Григорьяна и В. П. Зубова (М., 1962), «Очерках развития механики» Н. Д. Моисеева (М., 1961), «Истории механики» И. А. Тюлиной и Е. П. Ракчеева (М., 1962) и «Популярных беседах о механике» А. Т. Григорьяна (М., 1965).
3 Мах. Механика. СПб., 1909, стр. 17.
4 М. Витрувий. Об архитектуре. Л., 1936, стр. 286.
5 Еще раз напомню — это лишь одно из направлений анализа формирования понятия механического движения.
6 Мах. Механика; В. П. 3убов. У истоков механики. Сб. «Очерки развития основных понятий механики». М., 1962; Н. Д. Моисеев. Очерки развития механики. М., 1961; В. П. Зубов. Физические идеи древности. Сб. «Очерки развития основных физических идей». М., 1959; P. Duhem. Les origines de la Statique, 1—11 p., 1905—1906; W. Stein. Der Begriff des Schwerpunkte bei Archimedes. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Abt. B, Bd. I. Berlin, 1929, S. 222–223.
7 Ср.: И. А. Тюлина, Е. Н. Ракчеев. История механики, стр. 21.
8 М. Борн. Эйнштейновская теория относительности. М., 1964, стр. 26.
9 Там же, стр. 28.
10 Ф. Розенбергер. История физики, ч. 2. М.— Л., 1937, стр. 21.
11 Цитирую по книге: В. П. Зубов, Ф. А. Петровский. Архитектура античного мира. М., 1940, стр. 273.
12 В дальнейшем будут использоваться как равнозначные оба эти определения — «мысленный» и «идеализованный» (предмет познания). Первое определение характеризует «вторичность» этого предмета, второе определение подчеркивает тот процесс (идеализацию), который лежит в основе его формирования.
13 Ср.: Мах. Механика, стр. 53.
14 Мах. Механика, стр. 430.
15 В. П. Зубов. Физические идеи древности. Сб. «Очерки развития основных физических идей». М., 1959, стр. 54; см. также В. П. Зубов. У истоков механики. Сб. «Очерки развития основных понятий механики». М., 1962, стр. 47–48.
16 Это будет именно краткий набросок. Задача настоящего исследования — продумать логику развития научного понятия как элементарной формы развития науки. Проблема логики развития категориального строя науки, исключительно важная и актуальная, в данной книге затронута лишь мимоходом.
17 Э. Кольман. История математики в древности. М., 1961, стр. 86, 87; см. также Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
18 Ньютон. Математические начала натуральной философии (в кн.: А. Н. Крылов. Сочинения, т. 7. М.—Л., 1936, стр. 1–3).
19 И. А. Тюлина, Е. Н. Ракчеев. История механики, стр. 28.
20 Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 366.
21 Там же, стр. 148.
22 Taм же, стр. 11.
23 Э. Мах. Механика, стр. 428–429.
24 Архимед. Послание к Эратосфену о некоторых теоремах механики. В кн: И. Гейберг. Новое сочинение Архимеда. Одесса, 1909, стр. 4–5 (разрядка моя.— В. Б.)
25 Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1957, стр. 183.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии