В подростковой школе математика (арифметика) резко сменяется алгеброй и геометрией.
Эта смена остро чувствуется детьми РО и порождает такие учебные инициативы (парадоксы), которые требуют пристального внимания. Если прислушаться к подростковым учебным инициативам, остановиться и последовать, подобно Алисе, за этим очередным белым кроликом детской мысли, то можно обнаружить кентаврическое образование - вход в подростковую учебную предметность. Ее порождение самим подростком как учебной ситуации для себя и для учителя.
...Новая учительница семиклассников Усть-Илимской школы № 15 вначале очень боялась испортить РО в этом классе и старалась выслушать и понять все, что говорят дети. Правда, оформляя детские учебные инициативы, учительница как бы «подвешивала» их, не связывая с ними свое (преимущественно традиционное) движение. Но уже и это важно, так как она работала не одна, а во взрослом научном семинаре, где сохраненные учительницей детские инициативы можно было обсуждать, а затем вновь возвращать детям. Так возник очень интересный урок-диалог.
Семиклассница Усть-Илимской школы № 15 Надя Бакулина, составляя примеры для будущей контрольной работы по теме «одночлены», задумалась, может ли она включить в это задание пример типа: с(-2а+3в).
Надю останавливало то, что в классе распределительное свойство для одночленов еще не проверялось.
Надя поставила следующую учебную задачу: Можно ли на основании того, что а (в+с) = ав+ вс, заключить, что, скажем, с(-2а+3в) = -2ас+3вс? Ведь выражения типа -2а, 3в и др. сложнее устроены, чем а, в, с. Вдруг для этих конструкций нарушается распределительное свойство!
После обсуждения этой учебной ситуации на учительском семинаре один из его участников взялся провести урок с учениками этого класса. Такого рода цикл: урок-семинар-урок является адекватной формой строящейся подростковой школы, обнаруживающей, что содержание учебной деятельности подростков может быть выстроено только вместе с самими взрослеющими подростками.
Учитель (участник «взрослого» семинара в 15-й школе) предложил семиклассникам задуматься над тремя вопросами:
1) Чем алгебра отличается от арифметики?
2) Чем геометрия отличается от арифметики?
3) Чем физика отличается от арифметики?
Под «арифметикой» в данном случае понималось то, что детям преподавалось с первого по пятый класс и в школьной программе не очень точно называется «математикой».
Дети разделились на две группы. Учитель разделил доску на две части и предложил изобразить мысли ребят на доске в виде схем, формул, рисунков, текста и пр.
В ходе учебной дискуссии семиклассники предложили две взаимоисключающие формулировки.
Первая группа (лидер - Марьяна): В арифметике мы изучаем свойства действий с числами. Мы можем проверить каждый шаг, сравнив левую часть равенства с правой. В алгебре на основе обобщения арифметических действий мы получаем законы типа: ( а + в )с = ас + вс или а + в = в + а .
Вторая группа (лидер - Надя Бакулина): Нельзя по нескольким числовым результатам в арифметике судить о верности формулы в алгебре. А вдруг новая проверка покажет, что формула неверна! У Марьяны получается, что сначала возникает арифметика, а затем - алгебра. У нас - все наоборот. Сначала строится алгебра. Алгебра - это наука об оригиналах алгоритмов. Арифметика изучает только копии, бледные копии оригиналов алгоритмов - арифметические примеры. Примеры (в арифметике) нужно решать так или иначе, потому что определенным образом устроены оригиналы алгоритмов: а=а, а+в=в+а, (а+в)с=ас+вс и так далее.
Учитель. Ну хорошо. Группа Нади занимает позицию Платона. (Учитель очень подробно рассказывает о мире идей Платона. По существу - это короткая лекция, пересказ «Тимея» и фрагмента «Государства». Семиклассники внимательно слушают. Им очень интересно. Обращение к античным истокам математического понятия возвышает вопрос, позволяет интерпретировать учебную ситуацию как «вечную проблему бытия». С этой «точки удивления» может начаться построение диалогического понятия, в формирование которого включается голос античной философии.) Но ведь мы не знаем, верна ли, например, алгебраическая формула: (а + в)с = ас + вс. Почему вы думаете, что оригинал алгоритмов построен правильно?
Марьяна (обсудив проблему в своей группе): А я попробую доказать. Сначала я возьму не число, а какую-нибудь вещь. Ну, например, черно-белый кирпичик. Кирпичик, состоящий из двух частей: черной (а) и белой (в). Сначала я поставлю один такой кирпичик на другой. Это будет 2(а+в). Но можно эту же самую фигурку получить иначе. Сначала взять два черных кусочка, а затем два черных кусочка. И все вместе склеить. Это будет, конечно, 2а+2в. Посмотрите (рисует на доске) - получилась одна и та же фигурка! Значит, 2(а+в) = 2а+2в.
Надя (очень внимательно выслушав Марьяну): ...И если это будет не 2, а любое другое число, то получится то же самое (Долго что-то шепчет про себя)... Да, этот оригинал алгоритмов верен для любых чисел.
У. А помнишь, Надя, ты спрашивала, можно ли на основании того, что а(в+с) = ав+ вс, заключить, что, скажем, с(-2а+3в) = -2ас+3вс?
Надя. Помню, конечно. Я и сейчас не уверена, что так можно делать.
У. А ты уверена, что формула а (в+с) = ав+ вс верна не только для натуральных, но и для дробных и отрицательных чисел?
Надя. Нет, не уверена, конечно. Но я могу теперь ответить на Ваш первый вопрос - об алгебре и арифметике! (Рисует на доске дерево с корнями. Дерево - арифметика, корни - алгебра). Алгебра - это корни арифметики. Это то, из чего арифметика вырастает.
У. Замечательно! А что на этой картинке - побег? А можете ли вы нарисовать на этой картинке геометрию или физику?
Надя. Пока нет. Нужно подумать.
У. Отлично. Пусть это будет домашнее задание нашего зимнего семинара. Проверим его на летнем семинаре.
Звонок.
Семиклассники нащупывают чрезвычайно существенное отличие подростковой алгебры от младшешкольной арифметики. Подобные отличия фиксируют и ученые. Так, Я. Дадоджанов, конструируя совместно с С.Ф. Горбовым предмет «Геометрия» для подростков 6 класса, отмечал: « Изучение геометрии в школе мы разделили на два этапа: первый этап - когда геометрия изучается как физическая наука и когда под геометрическими понятиями понимаются прямые абстракции от физического, видимого пространства; второй этап - геометрия как математика, когда эти представления разрушаются и создаются абстракции более высокого ранга, которые рассматривают видимый мир лишь как одну из возможных интерпретаций современной геометрии». Фиксация этих различий между предметностью начальной школы и предметностью школы подростковой, открытие принципиально новых форм жизни понятия в подростковой школе и их укоренение в образовании – вот, на взгляд, исследователей из Усть-Илимска, - содержание третьего этапа подростковой школы. Уточнение этого предположения последует в ходе дальнейшей экспериментально-педагогической деятельности школы-лаборатории № 15.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии