Эксперимент и математическая теория

К концу V в. до н.э. математические исследования греческих ученых достигают чрезвычайно высокого уровня. С точки зрения нашей темы нас интересуют в этом процессе три момента:
1) выработка новых приемов и способов мысленного конструирования объекта;
2) выдвижение математики в качестве образца чисто теоретического знания и критика в связи с этим нематематического знания (Платон);
3) внедрение в геометрию механических способов решения задач, первый контакт между геометрией и механикой.
По мере развития арифметики, геометрии, астрономии и гармонии — четырех основных теоретических дисциплин эпохи классической античности — неизбежно возникает проблема единства теоретического знания и его автономии, проблема, составляющая одну из основных тем платоновской эпистемологии. Однако с полной определенностью эта проблема была поставлена элеатами уже в самом начале V в. до н.э⁸⁹.
Пифагорейский принцип, согласно которому число или форма составляют единое начало бытия и познания как любого существа (единицы), так и космоса в целом, уже нес в себе проблему (и апорию) формы форм (единицы единиц), т. о. необходимость отыскать форму, заключающую в себе свойства всевозможных форм.
Проблема единого (универсальной единицы) выдвигается на первый план, причем единое сразу же осознается так же и как всеобщая форма, и как бытие само по себе. Однако нас интересует не онтологическая, а конструктивная сторона проблемы.
Мы уже говорили, что переход от первоначального арифметизма пифагорейцев к геометрической алгебре связан с проблемой несоизмеримости. Несоизмеримость, осознанная как принципиальная трудность в отыскании универсальной единицы, была по существу для пифагорейцев экспериментальным затруднением. Благодаря несоизмеримости, многообразие чисел-предметов распадалось в конечном счете на множество качественных единиц, не могущих находиться друг к другу ни в каком разумном отношении (ἀνα-λογία). Иными словами, об этих фундаментальных качественных единицах уже не могло быть никакого теоретического знания. Они невыразимы (ἄῤῥητον) по отношению друг к другу⁹⁰. Парадокс, обострившийся еще в результате критики со стороны элеатов, состоял в том, что универсальная единица как начало всех чисел должна в потенции содержать все несоизмеримые величины⁹¹. В этой ситуации чрезвычайно важным шагом была разработка методов геометрической алгебры как способа взаимно соотносить и, следовательно, соизмерять (уподоблять) непосредственно несоизмеримые (неподобные) числа. Эта проблема породила метод приложения площадей и затем — венец греческой математики − теорию конических сечений⁹².
Рассмотрение «выразимости» непосредственно несоизмеримых единиц, классификация и систематизация на этой основе чисел, включая и иррациональные, составляет заслугу математиков начала IV в. до н.э. Феодора и Теэтета, о которых рассказывает Платон в своем диалоге «Теэтет» (147d-148b). Простейшим способом «выражения» иррациональной единицы, например √3, является рассмотрение ее как стороны квадрата с площадью три квадратные единицы. Соответственно и две «единицы», несоизмеримые друг с другом, могут быть сопоставлены по производимым ими площадям. В X книге евклидовых «Начал» ⁹³ такие отрезки называются «выразимыми». Кроме того, здесь исследуются и более сложные формы «выразимости», которые были затем использованы при построении теории правильных многогранников (XIII книга «Начал»). «Все эти доказательства, — пишет Ван дер Варден,— базируются на одной и той же мысли, которая красной нитью проходит через всю книгу: чтобы показать свойства каких-либо отрезков, строят на этих отрезках квадрат и исследуют свойства этого квадрата» ⁹⁴.
Представив иррациональное число как диагональ квадрата или как сторону квадрата, площадь которого не является квадратным числом, греческий математик имел совершенно точное изображение иррационального. Это обстоятельство только укрепляло в мышлении греков их геометро-наглядный метод, так что Платон по праву мог назвать геометрию, мышление в формах, наукой о том, «как сделать подобными (соизмеримыми) числа, по своей природе неподобные (несоизмеримые)» (См. примечание 81).
Развитие идеи выразимости в видимых (гометрических и стереометрических) фигурах неких скрытых и самих по себе несравнимых элементов чрезвычайно важно и характерно для теоретического мышления эпохи античности вообще. В этом математическом методе наглядно представлены механизм и как бы схема того способа, которым античные мыслители превращали предметное наблюдение в теоретический анализ. Будет ли это атомистическая теория Демокрита пли проблема отношения между структурой тел и структурой идей у Платона, или же, наконец, теория Аристотеля о выразимости структуры предметных потенций (δύναμις) в актуальной структуре предмета (ἐντελέχεια) — везде мы имеем дело с одним и тем же ходом мысли, который является действительным развитием первоначального метода пифагорейцев. Анализ предметных структур как статических симметрий (чи́сла), дополняемый внетеоретическим динамизмом (натурфилософия числа), осмысляется теперь таким образом, что в понятии выразимости сам момент динамики получает теоретическое истолкование.
Мы не имеем здесь возможности продемонстрировать всю фундаментальность этой особенности греческого мышления в других сферах античной культуры. Сошлемся лишь на два исследования. В книге А. Сабо «Начало греческой математики» подробно показана глубокая связь математической терминологии с терминологией музыкальной практики. Исследователь античной архитектуры Д. Хэмбидж демонстрирует элементы динамической симметрии в античной пластике⁹⁵. Анализируя большой искусствоведческий материал, Хэмбидж показывает, как в структуре основных архитектурных элементов Парфенона и других греческих храмов реализуется принцип динамической симметрии. Статический и замкнутый в себе квадрат он противопоставляет прямоугольным элементам с диагональю √2, √3, √5 и т. д., показывая, как их структура необходимо развертывается в более сложную систему, захватывая своими связями все сооружение.
Таким образом, переход от статично-симметричного арифметизма ранних пифагорейцев к динамической геометрии эпохи Платона свидетельствует о значительном развитии конструктивных средств и, следовательно, экспериментально-теоретической способности вообще. Дело, однако, осложняется следующим обстоятельством. Геометрическая форма, взятая как способ выражения некоторой предметной, качественной единицы, оставшейся за рамками самой геометрии, отделяется от объекта. Чистая и автономная геометрия, ставшая впервые собственно математической дисциплиной, рассматривается сама по себе вне зависимости от возможного применения к физическим объектам.
Вместе с тем, коль скоро именно геометрический образ является теоретическим выражением объекта, чисто математическое исследование свойств пропорций или геометрических фигур представляется достаточным и необходимым способом теоретического представления предмета.
Такова предпосылка платоновского априоризма в теоретическом мышлении. Но именно благодаря этому Платон глубже понял значение и смысл отношения математики к предметному исследованию.
«...Когда они (математики.— А.А.) ...пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили... То же самое относится к произведениям ваяния и живописи... они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе, как мысленным взором» (Государство, VI, 51Od-510e). Фундаментальная мысль о том, что наши теоретические утверждения относятся к идеально-сущностному образу вещи, а не к ее эмпирически воспринимаемому случайному образу, пронизывает многие рассуждения Платона. Собственно говоря, важнейшим моментом центрального учения Платона об «эйдосах», или об «идеях», и является понимание того, что геометрическая, идеальная форма вещей, видимая очами разума, и есть цель и результат теоретического определении вещи⁹⁶. Она обладает теоретическими качествами всеобщности, необходимости и неизменности в противоположность случайности, неопределенности и произвольной изменчивости предмета непосредственного наблюдения.
Поскольку, таким образом, оказывается, что собственно математические исследования, исследования формы как таковой, с одной стороны, не зависят от неточности (неуловимости) чувственных впечатлений, а с другой − дают непосредственно предметный результат, становится понятен тот теоретико-математический энтузиазм, который так характерен для Платона в отличие от Аристотеля⁹⁷.
Со своей идеальной высоты Платон подвергает резкой критике непоследовательное смешение математики и эмпирии у ранних астрономов и музыкантов. «Эти узоры на небе, украшающие область видимого, — говорит он,— надо признать самыми прекрасными и совершенными из подобного рода вещей, но все же они сильно уступают вещам истинным... Это постигается разумом и рассудком, а не зрением... Небесным узором надо пользоваться как пособием для изучения подлинного бытия...» (Государство, VII, 529d-e). Понятно, что при таком настроении Платон и на пифагорейцев смотрит как на эмпириков: «Клянусь богами, у них это выходит забавно: что-то они называют «уплотнением» и настораживают уши, словно ловят звуки голоса из соседнего дома; одни говорят, что различают какой-то отзвук посреди, между двумя звуками и что как раз тут находится наименьший промежуток, который надо взять за основу для измерений, другие спорят с ними, уверяя, что здесь нет разницы в звуках, но и те и другие ценят уши выше ума.— Ты говоришь о тех добрых людях, что не дают струнам покоя и подвергают их пытке, накручивая на колки...— Они, — заключает Платон, имея в виду пифагорейцев-эмпириков, — ищут числа в воспринимаемых на слух созвучиях, но не подымаются до рассмотрения общих вопросов и не выясняют, какие числа (курсив наш, — А. А.) созвучны, а какие — нет и почему» (531с).
Мы привели это обширное извлечение из Платона, потому что оно с равной наглядностью демонстрирует как способы экспериментирования в раннем пифагорействе, так и априорно-математическое отношение Платона к эксперименту⁹⁸.
При таком подходе истинное знание должно получаться в том случае, если удается реконструировать все данные наблюдений, исходя из чисто теоретических предпосылок. Так возникает платоновский замысел чисто математической физики, причем единственной сферой, где этот замысел может осуществиться полностью, явяется для Платона, как и для всей классической античности, божественная сфера небесных движений — астрономия⁹⁹. Платон поставил перед математиками и астрономами его эпохи задачу теоретической переработки эмпирической астрономии, задачу выведения законов движения небесных тел из всеобщей математической модели сферического движения.
Мы уже говорили о фундаментальной роли понятия кругового движения для всей античной астрономии. Тот всеобщий метод, с помощью которого в античности строилась теория движения небесных тел (основа основ любой теоретической механики), можно было бы назвать циклическим анализом. При этом любой исследуемый процесс, в частности орбита небесного тела, строится путем разложения в систему циклических движений. Такая «циклическая инерциальность» служила теоретической предпосылкой, организующей любые астрономические наблюдения в теоретически значимые эксперименты.
Именно на этой основе Платон и выдвинул программу преобразования эмпирической астрономии в теоретическую. Мы не находим этой программы в платоновских диалогах. По-видимому, она была высказана устно, о чем имеется свидетельство в «Истории астрономии» Евдема, сохранившееся у Симпликия в его комментариях к «О небе» Аристотеля. Симпликий пишет: «Платон допускает в принципе, что небесные тела движутся постоянным равномерным круговым движением, поэтому он предлагает математикам такую проблему: какие надо предположить круговые и совершенно правильные движения, чтобы иметь возможность спасти (т. е. объяснить. — А. А.) планетные явления» ¹⁰⁰. Вся античная теоретическая астрономия со времен Платона до Птолемея в значительной степени является реализацией этой «планетной» программы.
Любое астрономическое наблюдение становилось теоретической проблемой в той мере, в какой оно не соответствовало теоретическому предсказанию. Различия в скоростях движений, в светимости или некоторые отклонения от циклической структуры движения впервые становятся теоретически значимыми фактами лишь в условиях такой программы. Задача «спасения» явлений требует усовершенствования и измерения теоретической хемы, или гипотезы, при помощи которой эти явления «спасают».
«Первым греком,— сообщает Симпликий,— который попытался разрешить проблему, поставленную Платоном, был Евдокс из Книды» ¹⁰¹. Речь идет о системе гомоцентрических сфер, созданной учеником Архита Тарентского Евдоксом, которая представляла собой первый детально разработанный пример циклического анализа¹⁰². В этой системе шарообразная Земля покоится в центре, вокруг нее вращаются 27 концентрических сфер. Внешняя сфера несет неподвижные звезды, а другие служат для объяснения движения Солнца, Луны и пяти планет. Для каждой планеты необходимо четыре сферы, для Солнца и Луны — по три. Многие особенности движения небесных тел можно объяснить при надлежащем выборе скоростей соответствующих сфер, причем подбираются также углы наклона осей этих сфер. Как показал Скьяпарелли, при этом легко выводится то петлеобразное движение (гиппопеда), которое совершает, например, Юпитер по отношению к неподвижным звездам.
Каллип и затем Аристотель (Метаф., XII, 8, 1073b15-1074b19) улучшили эту модель, но общим недостатком этой теории было отсутствие объяснения изменчивости в блеске планет (ведь расстояние до Земли считалось неизменным¹⁰³). Однако, общий принцип построения теоретической системы на основании некоторой модели, комбинирующей простые циклические движения, был принят всеми позднейшими астрономами, и речь шла только о нахождении наиболее адекватной структуры. Более того, мы увидим дальше, как этот метод и аналогичные модели переносится в сферу земной физики и становится таким образом первым математическим методом физики.
В конце IV в. до н.э. Автолик из Питаны в Эолиде, современник Феофраста, в своем трактате «О движущейся сфере» построил абстрактную теорию кинематики точек и кругов на равномерно вращающейся сфере в полном соответствии с идеалом Платона¹⁰⁴. Это был отвлеченный анализ общих свойств универсальной геометрической модели, служащей основанием любой возможной организации астрономических наблюдений по гомоцентричесому принципу. Однако практически далеко не все явления планетарного движения могли быть «спасены» таким образом. Не было недостатка в полуэмпирических гипотезах, сохранявших от теории только сам принцип циклического анализа. Гераклид из понтийской Гераклеи, один из выдающихся учеников Платона, нашел, что явления, сопровождающие движение Венеры и Меркурия, лучше всего объясняются, если предположить, что эти две планеты вращаются вокруг Солнца, тогда как само Солнце вращается вокруг Земли¹⁰⁵. К началу III в. до н.э. относится знаменитая гелиоцентрическая гипотеза Аристарха Сомосского¹⁰⁶, построенная по принципам гомоцентрической системы и в полной абстракции от общей физической теории. К началу III в. физическая теория была представлена главным образом в аристотелевской системе, и именно то обстоятельство, что гелиоцентрическая гипотеза выступала при этом как абстрактно-геометрическая конструкция, не связанная с основными принципами физики, сводило ее значение на нет. Требование единства физической теории послужило здесь основанием для выбора космологической гипотезы и было решающим моментом в интерпретации наблюдаемых фактов.
Пока аристотелевская система могла обосновывать физическое понимание и быть источником физических гипотез, она также и поставляла критерии для их отбора. Когда же ее собственное развитие привело ее к проблемам, требующим пересмотра самих основ, понадобилась полная перестройка всей системы физического мышления, и древняя космологическая гипотеза приобрела новый физический смысл.
Значительно более гибкий вариант циклического анализа движения небесных тел, согласующийся также с требованиями аристотелевской физики, был предложен Аполлонием Пергским (ок. 200 г. до н.э.) в его системе эксцентриков и эпициклов. Согласно гипотезе эксцентрического движения, наблюдение за движением планеты происходит из точки, несколько смещенной относительно центра круга. Гипотеза эпициклов предполагала, что по круговой орбите движется центр малой окружности, по которой вращается сама планета. Гипотеза эпициклов была менее приемлема, так как было затруднительно принять вращение вокруг «пустой» точки. Но в обоих случаях можно было объяснить наблюдаемые аномалии в блеске и скорости планет. Птолемей в своем «Альмагесте» приписывает Аполлонию две теоремы, которые доказывают полную эквивалентность эпициклической и эксцентрической теорий¹⁰⁷.
В конце II в. до н.э. эта система была усовершенствована Гиппархом, великим греческим астрономом, предшественником Птолемея¹⁰⁸. При этом тщательные наблюдения позволили Гиппарху весьма точно определить основные параметры эпициклов Солнца и даже Луны. Он использовал обширные эмпирические материалы вавилонской астрономии, которые к этому времени стали известны в Греции¹⁰⁹. Все это говорит о достаточно ясном осознании метода теоретического наблюдения. Вот как характеризует Птолемей позицию Гиппарха: «Гиппарх понимал, что, когда с помощью одних только математических исследований дошли до такой степени точности и до познания истины, еще недостаточно держаться этих результатов, как будто другие уже все сделали; тот, кто хочет убедить себя и окружающих, думал он, необходимо должен, начиная с очевидных и всем известных явлений, вывести величину и период каждой аномалии, комбинируя для этого две вещи: относительное расположение и положение в небе кругов, которые порождают эти аномалии; он должен открыть закон движения, осуществляемый в этих кругах, он должен, наконец, показать, что другие явления соответствуют закону движения, который гипотетически был приписан этим кругам» ¹¹⁰. Эмпирическое описание, характерное для восточной астрономии, благодаря математической задаче, поставленной Платоном перед греческими астрономами, превращается, таким образом, в теоретическое исследование, развивающееся в постоянном конфликте гипотетического идеала и материала наблюдений. Фактический результат наблюдения может быть просто зафиксирован, но когда он ищет себе места в априорной геометрической схеме, вписывается в нее или требует изменения этой схемы, он тем самым превращается в теоретически значимый факт. Именно такая конфликтная ситуация, создаваемая теоретическим замыслом, превращает эмпирический факт в экспериментальную проблему.
Виртуозную разработку теория эпициклов получила в «Альмагесте» Птолемея ( II в. н.э.), блестящем завершении античной астрономии и жемчужине мировой научной мысли. «Альмагест» вместе с тем включил в себя высшие достижения вавилонской вычислительной техники, в нем полностью учтены все известные к тому времени астрономические сведения. «”Альмагест”»,— замечает Нейгебауэр,— отличается своим стремлением объяснить эмпирические основания и теоретические предпосылки применяемых методов. И путь всегда начинается с определенной геометрической модели, из которой потом выводятся определенные арифметические следствия» ¹¹¹.
Хотя Птолемею и удалось почти на полторы тысячи лет «спасти» планетные движения, мы не можем считать космологическую теорию Птолемея физической в полном смысле слова. Здесь отсутствовало самое важное звено, связывающее космологию и физику,— единый кинематический закон. Резкое разделение, существовавшее в аристотелевской физике между земной и небесной сферами, приводило к тому, что, с одной стороны, в пределах земной физики проблема движения не могла получить полной теоретической разработки, с другой, — в рамках теоретической астрономии имелся существенный разрыв между геометрической схемой и эмпирически определяемыми параметрами. Хотя в системе Птолемея «главный принцип, состоящий в фундаментальной роли кругового движения, казался блестяще подтвержденным» ¹¹², хотя даже в рамках земной физики этот принцип еще раз проявил свою продуктивную силу в статической механике, тем не менее, он не стал основанием единой кинематической теории, создание которой потребовало радикального изменения понятия движения и всех методов его математического конструирования.
Мы наблюдали развитие этих методов в классической эллинской математике и могли заметить, что понятие геометрического объекта, фигуры, формы, которое составляло для греческого ученого теоретическую схему исследуемого предмета, естественно приводило к затруднениям, когда предметом исследования становилось движение. Характер античной математики [понятой не как частная дисциплина, а как введение в онтологический мир идей, − идеальных форм бытия и знания] не позволял представить движение в идеальной форме понятия, [ввести его в мир идей]. Для этого движение само должно проникнуть в математику. Так или иначе, такое проникновение на самом деле происходило.
Чуть ли не с самого раннего этапа греческая математика вращается вокруг проблем, не разрешимых в рамках ее предпосылок и методов. Это — квадратура круга, трисекция угла и, главным образом, делийская задача — задача удвоения куба, с решением которой связаны чуть ли не все высшее достижения античной математики (в частности, теория конических сечений). Изощренные искусственные методы, которые приходилось изобретать для решения этих задач, создавали виртуозную технику геометрического воображения. Так, об Архите, предложившем изящное решение делийской задачи¹¹³, рассказывают, что он с трудом мог изложить ход своего доказательства, но легко мог воспроизвести его и как бы ощущал все его движения. «На чертеже Архита, — пишет Ван дер Варден,— все находится в движении: его мышление кинематично. Уже в древности заметили, что он ввел в геометрию механические методы» ¹¹⁴. Только у Архимеда эти методы приведут к блестящим результатам и послужат основанием для разработки механического эксперимента.
Механические методы внедрялись в решение математических задач и при определении длины окружности (квадратрисса Гиппия Элидского и спираль Архимеда), и при решении делийской задачи¹¹⁵, и при отыскании более простых теорем, поскольку во всей греческой математике отсутствовала методическая процедура вывода (существовала лишь разработанная методика доказательства однотипных теорем) ¹¹⁶. Как ни ругал Платон математиков за изобретение механических приспособлений для решения задач, они были неизбежны. Будет ли это движущийся угольник, или раздвижная трехчастная линейка Эратосфена, или циркуль, вычерчивающий конхоиду, — незбежно было столкновение математических и механических проблем, в результате чего экспериментирование с математическими объектами вновь выступило на первый план.
Чрезвычайно любопытно рассказывает об этом Плутарх: «Знаменитому и многими любимому искусству построения механических орудий положили начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более красивой и привлекательной, а также с помощью чувственно осязаемых примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних лишь рассуждений и чертежей затруднительно... Но так как Платон негодовал, упрекая их в том, что они губят достоинство геометрии, которая от бестелесного и умопостигаемого опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника, — механика полностью отделилась от геометрии и, сделавшись одною из военных наук, долгое время вовсе не привлекала внимания философов» ¹¹⁷.
Разработка и развитие механических методов решения математических (геометрических, тригонометрических, измерительных) задач потому имеет существенное значение, с точки зрения нашей проблемы, что благодаря этому многие механические процессы, и понятие механического движения вообще находили себе соответствие в геометрических и арифметических соотношениях. В античную эпоху только один прием непосредственно привел к созданию механической теории. Мы имеем в виду статику Архимеда, о которой речь пойдет дальше. Но в XVII в. именно эта связь механики с геометрией позволила сделать решительный шаг в развитии повой теории.

⁸⁹ Доксографы сообщают, что Парменид был учеником Анаксимандра, а также пифагорейца Аминия. МД, II, 20-22. «...Бытие ограничено со всех сторон; оно - подобно массе совершенно правильного шара, повсюду равно отстоящего от центрю». МД, II, 43, В1 (43-45) [Фрагм. 28, А1; В8, 43-44]
⁹⁰ См. у Szabо. Ор. cit., р. 114-116. Идея качественно-различных единиц, не делимых в том смысле, что они не имеют общей меры, общей «единицы», составляет в рамках пифагорейства идейный эквивалент понятию «формы» у атомистов.
⁹¹ Ср. цитированное у Ван дер Вардена (цит. соч., с. 176) высказывание Прокла в комментария к «Государству»: «Единица как начало всех чисел, в потенции является и стороной, и диагональю».
⁹² Прокл в своих комментариях к «Началам» Евклида рассказывает: «Эти вещи, как говорит перипатетик Евдем, открыты пифагорейской музой, а именно приложение площадей с недостатком и избытком. Позднее эти названия были перенесены на три конических сечения». Цит. по кн.: В. Л. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука, с. 171. Основы геометрической алгебры изложены во II кн, евклидовых «Начал». Метод приложения площадей разобран Ван дер Варденом, с. 165-173.
⁹³ Содержание Х и части XIII книги «Начала» приписывают Теэтету. См. В. Ван дер Варден. Цит. соч., с. 227-230.
⁹⁴ Там же, с. 231
⁹⁵ Д. Хэмбидж. Динамическая симметрия в архитектуре. М., 1936, с. 36 и сл.
⁹⁶ «Сродство «идей» Платона и «числа» пифагорейцев очевидно. «Идеи» и «числа» - бестелесные прообразы пластических телесных типов вещей, а тaкже прообразы закономерности, согласно которой все совершается в мире... В поздний период своего развития Платон пришел к тому, что попросту отождествил свои «идеи» с «числами» пифагорейцев» (В. Ф. Асмус. Платон. М., 1969, с. 132). Соотношение между фигурой на песке и ее идеальным образом, о котором ведет речь математик, и далее, между той «числовой структурой» и самой идеей, т. е. единой умопостижимой «точкой», из которой можно вывести или, точнее говоря, в которой можно усмотреть все существенные определения «объекта», − это соотношение, по нашему мнению, может быть, один из самых верных путей к пониманию той логической необходимости, которая привела Платона к разработке учения о мире идей. Весь предметный мир предстает для Платона как некий «начертанный от руки», чувственный, видимый образ, имеющий значение не более чем наглядного пособия для того, чтобы, глядя на него умным зрением теоретика, вести рассуждение об идеальных сущностях.
⁹⁷ Этот математический энтузиазм характерен также для идеологии зарождающейся науки Нового времени (Галилей, Декарт и др.) и резко отличает ее от идеологии эмпиризма, которая всегда была свойственна либо периферийным течениям мысли, либо эпохам полновластного господства какой-нибудь фундаментальной теоретической системы, «нормальной» эпохи в смысле Т. Куна. Подробнее мы разберем вопрос о «платонизме» Новой науки в главе о Галилее.
⁹⁸ Ср. также высказывание Платона о посредничестве математики в «Филебе» (в особенности 16c-18d). Комментируя Платона («Государство», VII, 529а) , Ван дер Варден пишет: «Все это звучит очень странно для нас, привыкших к современному эмпирическому естествознанию, но в сущности, Платон совершенно прав. Теоретическая астрономия, так же как геометрия или механика, рассматривает не действительные небесные тела, но теоретические, идеализированные объекты вроде материальных точек или совершенных сфер, которые движутся в пространстве по математическим законам и которым наблюдаемые тела соответствуют лиш приблизительно... Истина находится в математике, так как эта наука точная. А истина божественна. «Бог вечно занимается геометрией»,- говорит Платон. По образцу истинных, божественных, математически чистых движений творец, как полагает Платон, и упорядочил видимый мир». Цит. соч., с. 266-267
⁹⁹ «Вам неведомо, что величайшим мудрецом по необходимости должен быть именно истинный астроном, не тот, кто занимается астрономией по Гесиоду и ему подобным, ограничивающимся наблюдением над заходом и восходом светил, но тот, истинный астроном, который из восьми кругооборотов наблюдает преимущественно семь, при которых каждое светило совершает свой круговой путь так, что это нелегко смог бы усмотреть любой человек, непричастный свойствам чудесной природы» (Послезаконие, 390b).
100 Цит. по кн.: Р. Duhem. Le Systeme du Monde. Histoire des doctrines cosmologiques de Platon а Copernic, t. 1. Paris, 1954, р. 103
101 Ibid., р. 111. «В действительности метод физических наук был определен Платоном и пифагорейцами его времени с непревзойденной отчетливостью и точностью; впервые он был применен Евдоксом, когда он попытался спасти явления планетного движения, комбинируя вращение гомоцентрических сфер». Р. Duhem. Ор. cit., р. 129. Евдокс сконструировал вращающуюся модель звездного неба (см Б. Л. Ван дер Варден, Цит. соч., с. 247), а также астрономический инструмент «арахну» («паук»), представляющий собой вариант астролябии.
102 О системе Евдокса см.: L. Schiaparelli. Die homozentrischen Sphдren des Eudoxos, Abhandlungen Math., Bd 1. Leipzig, 1877; Th. Heath. Aristarchos оf Samos. Oxford, 1913; Р. Duhem. Ор. cit., t. 1, р. 111-'126. Б. Л. Ван, дер Варден. Цит. соч., стр. 245-247; О. Нейгебуер. Цит. соч., с. 154-155.
103 О. Нейгебауер. Цит. соч., е. 155.
104 Р. Duhem. Ор. cit., р. 403-404.
105 Ibid., р. 407-410
106 Th. Нeath. Aristarchos of Samos, the Ancient Copernicus. Oxford, 1913. См. упоминание об Аристархе в «Псаммите» Архимеда. − Архимед. Сочинения, с. 358-359
107 Р. Duhem. Ор. cit., р. 435
108 «Астрономия Птолемея, вероятно, в значительной степени построена на результатах, полученных за 300 лет до него Гиппархом...» (О. Нейгебауер. Цит. соч., с. 157).
109 Там же.
110 Ptolemey. Ореrа quae extant omnia. Syntaxis matеmаtiса. Ed. J.-L. Heiberg, vol. II. Lipsiae, 1898, р. 210-211. Цит. по кн.: Р. Duhem. Ор. cit., р. 458.
111 О. Нейгебауер. Цит. соч., с. 158. Ср.: «Цель, которую должен ставить себе и достигать математик, мы думаем, такова: показать, что все небесные явления произведены равномерным круговым движениям.». Цит. по кн.: Р. Duhem. Ор. сit., р. 487.
112 О. Нейгебауер. Цит. соч., с. 155.
113 МД, III, А1, А13 [Фрагм. 47, А14]
114 Б. Ван дер Варден. Цит. соч., с. 211.
115 И. Н. Веселовский приводит 14 решений делийской задачи с помощью либо специально изобретенных подвижных линеек, либо мысленного движении элементов чертежа. См.: Архимед. Сочинения, с. 460-479.
116 См. статьи: И. Ю. Тимченко. «Анализ и синтез» и «О диалектическом методе древних геометров и о логическом строении Евклидовых «начал». В кн.: Фл. Кэджори. История элементарной математики. Пер. с англ. под ред., с примеч. и прибавл. И. Ю. Тимченно. Одесса, 1917. с. 338-354.
117 Плутарх. Сравнительные жизнеописания, т. 1. М.. 1961, с. 391.