Глава шестая

6. Предмет рассмотрения геометрии — треугольники, четырехугольники, круги и вообще фигуры, величины и их границы; то, что им по существу свойственно, — деление, отношение, касание, равенство, параболы, гиперболы, эллипсы и все такого рода; с другой стороны — постулаты и аксиомы, с опорой на которые проводится то или иное доказательство, — например, проведение единственной прямой между любыми двумя точками, или равенство остатков при отнятии равных отрезков от равных отрезков и то, что из этого вытекает. Поэтому не всякая проблема и не всякий вопрос являются геометрическими, но только те, которые исходят из геометрических начал, так что как геометр может быть опровергнут тот, кого опровергают исходя из этих начал. А все то, что из них не исходит, не является геометрическим, но лежит вне геометрии. Но это последнее также двух видов: оно либо целиком исходит из других начал, как, например, мы называем не имеющими отношения к геометрии вопросы музыки, потому что их рассмотрение исходит совершенно из других предпосылок, нежели предпосылки геометрии; либо пользуется геометрическими началами, однако превратно, например, в случае утверждения, что параллельные сходятся. Поэтому геометрия же дает нам критерии, на основании которых мы можем распознавать, что соответствует ее началам, а что отступает от их истины. Этими критериями являются способы, с помощью которых можно показать, в чем ошибка ложного умозаключения. Действительно, одно вытекает из геометрических начал, другое — из арифметических. О других науках, которые стоят совсем далеко от этих, я и не говорю, потому что, как говорит Аристотель, из двух наук одна точнее другой: ¹³  та, которая пользуется более сложными началами, менее точна, чем та, которая исходит из более простых предпосылок; та, которая говорит «почему», точнее той, которая познает «что», и та, которая имеет дело с умопостигаемым, точнее той, которая соприкасается с чувственным. Так вот, если исходить из точности, то арифметика точнее геометрии, потому что ее начала отличаются простотой: монада лишена положения, а точка имеет положение, и точка, когда она получила положение, является началом геометрии, а начало арифметики — монада; при этом геометрия выше сферики, а арифметика — музыки, потому что первые дают всеобщие причины для рассмотрения, проводимого вторыми; а выше механики и оптики геометрия потому, что те рассуждают о чувственно воспринимаемом. Поэтому начала арифметики и геометрии превосходят начала остальных наук, однако их собственные предпосылки отличаются одни от других так, как мы об этом сказали, хотя — с другой стороны — между ними есть и нечто общее; поэтому одно из того, что они рассматривают и доказывают, обще обеим, а другое — у каждой свое. Например, утверждение «всякое отношение может быть выражено» относится к арифметике, но никак не к геометрии, потому что в геометрии есть отношения, которые не могут быть выражены. Точно так же только в арифметике есть наименьшая разница между квадратами, ¹⁴  тогда как в геометрии вообще нет понятия наименьшего. А особенностью геометрии является понятия «положение» (числа положения не имеют), «касание» (потому что касаться могут только непрерывные величины), «иррациональные числа» (потому что иррациональное там, где есть деление до бесконечности). Общее у обеих то, что связано с делением (Евклид излагает это во Второй книге — за исключением деления прямой в крайнем и среднем отношении[, что изложено в Шестой книге]). В свою очередь одни из этих общих предметов рассмотрения переносятся из геометрии в арифметику, другие — из арифметики в геометрию, а третьи равным образом имеют отношение к обеим, поскольку переходят к ним из общей математической науки. Таковы подстановка, обращение пропорций, их сложение и деление, общие обеим, но только арифметика рассматривает их первично, а геометрия — вторично, в подражание арифметике. Поэтому, в частности, соизмеримые величины определяются так на основании того, что они относятся одна к другой как число к числу, потому что преимущественно соизмеримость существует в области чисел. В самом деле, где число, там и соизмеримое, а где соизмеримое, там и число. А вот то, что относится к треугольникам и четырехугольникам, геометрия рассматривает первично, а арифметика — по аналогии с ней. Вместе с тем, фигуры существуют в числах как в своей причине. Поэтому в данном случае, мы, начав с результатов, переходим к их причинам, каковые находятся в области чисел, и в одних случаях сталкиваемся с одинаковыми свойствами (например, всякий многоугольник делится на треугольники), а в других довольствуемся приблизительным соответствием (например, в геометрии у нас есть четырехугольник вдвое больший другого четырехугольника, а в числах — нет, поэтому мы говорим, что один квадрат вдвое больше другого квадрата за вычетом единицы, как, например, квадрат семи вдвjе больше квадрата пяти за вычетом единицы). ¹⁵
______________
¹³  Arist. Anal. Post. 87a31-37. 
¹⁴ toys ton tetragonon gnomonas, — буквально: «гномоны квадратов»; «гномон» означает «наугольник»; квадратные числа 1, 4, 9, 16 и т.д. могут быть изображены так:

1² + 3 = 2² 2² + 5 = З² З² + 7 = 4²
и т.д., то есть к 1² нужно прибавить не меньше 3, чтобы опять получить квадрат, к 2² — не меньше 5, чтобы получить еще один и т.д. Последовательность чисел 3, 5, 7 и т.д. и есть последовательность гномонов квадратов. Ср. Евклид, "Начала", 2 определение II книги и комментарий к нему Д.Д. Мордухай-Болтовского (М.,1948,с. 295-296). 
¹⁵  7² = (5² х 2) - 1; Ver Eecke приводит другой пример: 41² — (29² х 2) — 1. Morrow сопоставляет этот текст с текстом из "Государства" Платона (546с), где идет речь о рациональном и иррациональном диаметре 5 (то есть диагонали квадрата со стороною равной 5), причем разница между квадратами того и другого равна единице; иррациональный диаметр равен корню из (5² + 5²), рациональный — 7.