16. Таким образом, в геометрии есть и проблемы и теоремы, но в силу того, что преобладающим здесь является созерцание (как в механике преобладает практика), то здесь даже все проблемы причастны умозрению, но не наоборот, потому что доказательства в целом являются результатом умозрения, а все то в геометрии, что следует за началами, получается посредством доказательства, так что теоремы являются более общим. И не все теоремы нуждаются в проблемах, но есть и такие, которые из самих себя получают доказательство искомого. Но те, кто отделяет теорему от проблемы, утверждают, что если всякая проблема допускает как каждый из предикатов свойственной ей материи, так и противоположный, то всякая теорема хотя и допускает сам предикат, не допускает противоположного. Их материей я называю тот род, который исследуется, например, треугольник, четырехугольник или круг, а предицируемым признаком — существенный признак, например, равное, или деление, или положение, или что-либо другое в том же роде. Поэтому когда предлагается вписать равносторонний треугольник в круг, то речь идет о проблеме, потому что можно вписать и неравносторонний; и точно так же, когда нужно построить равностронний треугольник на данной прямой определенной длины, это тоже проблема, потому что можно построить и неравносторонний. Но когда выдигается положение, что углы, лежащие у основания равнобедренного треугольника, равны, следует говорить о теореме, потому что не могут быть неравными углы, лежащие у основания равнобедренного треугольника. 33 Поэтому если предложить в виде проблемы построить в полукруге угол, равный прямому, значит показать свою неосведомленность в геометрии, потому что всякий угол в полукруге равен прямому. 34 Итак, то, чему свойствен общий признак, причем он сопутствует всей материи, — то следует называть теоремой, а когда признак не всеобщий и не обязательно сопутствует данному подлежащему, — в таком случае это нужно считать проблемой. Например, разделить пополам прямую определенной длины — можно разделить и на неравные части; разделить пополам любой угод, равный прямому — возможно деление и на неравные углы; на данной прямой начертить четырехугольник — можно и не четырехугольник; и все такого рода следует поместить в разряд проблем.
Однако круг Зенодота, принимающего учение Энопида, но учившегося у Андрона, отличает теорему от проблемы на том основании, что теорема исследует, каков признак соответствующей ей материи, а проблема исследует, чем нечто является при наличии такого-то условия. Исходя из этого последователи Посидония определяют теорему как предложение, в соответствии с которым исследуется, существует нечто или нет; а проблему — как предложение, в котором исследуется, чем нечто является и каково оно; при этом они утверждали, что теорему следует строить как утвердительное высказывание, (например, сумма двух сторон треугольника больше третьей; или: углы, прилегающие к основанию равнобедренного треугольника, равны), а проблему — в качестве вопроса, например: можно ли на данной прямой построить треугольник? Ведь не одно и то же исследовать просто и без дополнительных ограничений, можно ли из данной точки провести к данной прямой прямую под прямым углом, или же рассматривать, что такое перпендикуляр.
_____________
33 См. "Начала", кн. I, предложение 5.
34 Там же, кн. III, предложение 31 — т.н. «теорема Фалеса».
- Войдите, чтобы оставлять комментарии