В центре многих диалогов Платона лежит проблема разделения понятий — «диайресиса». Так, в «Софисте» (219а—221а) предлагается разделение искусств на творческое и приобретающее, которое в свою очередь делится на обмен и на искусство подчинения себе. Это искусство подразделяется на борьбу и на охоту, которая в свою очередь делится на охоту за неодушевленными и одушевленными существами, а последняя — на охоту за сухопутными и за плавающими, которая также делится на птицеводство и рыболовство, подразделяемое на ловлю сетями и посредством удара, ночью и днем, трезубцем и крючком. Аналогичным образом подразделяется и охота на сухопутных животных (223 Ь-с) для того, чтобы определить софистику как охоту за богатыми и славными юношами. Чуть позднее Платон подразделяет аналогичным образом приобретающее искусство (224 d) и искусство подчинения себе (226 а).
В «Политике» (267 Ь-с) Платон методом «диайресиса» дает описание многообразия форм знания — практического и познавательного. Чуть позднее в этом же диалоге он подразделяет искусство попечения на божественное и человеческое, которое в свою очередь подразделяется на насильственное (тираническое) и мягкое (политическое, или царское).
Итак, исходной является процедура классификации множества объектов, процедура мысленного расчленения того или иного множества, диайретическая схема разделения понятий в отличие от дихотомической схемы. Вторичной и производной процедурой является онтологическое обоснование шагов и результатов процедуры классификации. Итак, необходимо расчленить множество чисел. Как это сделать? С помощью метода «диайресиса» числа разбиваются следующим образом. Например, тройка разбивается на единицу и двойку, которая в свою очередь разбивается на две единицы:
В этой схеме монада-сама-по-себе (а) первична. По отношению к ней монада (Ь) вторична. Третья монада — вторая после второй монады и третья после монады-самой-по-себе.Четверка разбивается двояким образом:
Платон допускает существование двух родов чисел — эйдетических и арифметических. Они принципиальным образом отличаются друг от друга. Арифметические числа получаются путем прибавления к каждому числу единицы. Эйдетические числа порождаются иным образом: двойка возникает из монады-самой-по-себе и арифметической единицы; четверка возникла из идеальной диады и неопределенной двоицы. Итак, Платон вводит числа сами по себе, или эйдетические числа, и арифметические числа, представляющие собой прибавление к каждому числу единицы.
Платон в «Государстве» (509 е) дает графическо-геометрическое представление «диайресиса» путем разделения линии на два отрезка, каждый из которых делится на два отрезка. Один из них зримый, другой — умопостигаемый. Платон предлагает пропорцию: видимое /умопостигаемое = гипотетическое/негипотетическое = отраженное/подлинное.
Аристотель, критикуя платоновское расчленение чисел, подчеркивает: «две двойки помимо диады-самой-по-себе» — это «нелепо и вымышленно»61. Расчленение Платона предполагает слишком много натяжек. Первая натяжка: «в двойке будет третья единица до того как будет три, и в тройке — четвертая и пятая до четырех и пяти»62. Вторая натяжка: «приходится принимать предшествующие и последующие двойки»63. Число идеальных диад увеличивается: диады, входящие в четверку, сосуществуют, но предшествуют тем двойкам, которые входят в восьмерку и т. д. «Идея будет составляться из идей», — делает вывод Аристотель за Платона. Но «эйдос — всегда один»64. Поэтому расчленение Платоном чисел на эйдетические и арифметические оценивается Аристотелем как «нелепость и вымысел»65, хотя он признает, что мы считаем, используя и «диайресис», и сложение единиц: «мы делаем и то, и другое, а потому смешно возводить это различие к столь значительному различию в самой сущности числа»66.
И все же Аристотель сохраняет определение числа как эйдоса, считая, что отождествлять, как это делал Ксенократ, эйдетические и арифметические числа — наихудший способ рассуждения67. Аристотель не приемлет и позицию Спевсиппа и пифагорейцев, которые объявили идеи общими сущностями и вместе с тем отдельно существующими и принадлежащими единичному68. Он переводит проблему в иную плоскость — плоскость соотношения потенциального и актуального: «возможность, будучи как материя общей и неопределенной, относится к общему и неопределенному, а действительность, будучи определенной, относится к определенному, есть «вот это» и относится к «вот-этому»69. Монады первой диады в идеальной четверке, согласно Аристотелю, — высшие эйдосы, и поэтому потенциальны. Разделению рода на два вида соответствует актуализация потенций, скрытых в идеальных числах. Поэтому для Аристотеля сущности в некотором смысле суть числа, а именно в том смысле, что составлены из формы и материи, из актуального и потенциального. Для Аристотеля единое представдяет эйдос в диайретической цепочке и одновременно является мерой70. Возникновение чисел трактуется Аристотелем как порождение благодаря разделению предшествовавших (то есть разделению рода на два вида). И одновременно это порождение есть движение от материи к форме, от потенциального к актуальному. Иными словами, критика Аристотелем платоновского понимания числа коренится в иной трактовке математики, чем у Платона.
Это различие можно осмыслить с помощью примера, приведенного Г. Вейлем. Две точки зрения состоят в следующем. Согласно одной из них, общее понятие эллипса есть совокупность всех конкретных эллипсов на плоскости. Это чисто теоретико-множественная позиция, когда общее получается в результате собирания всех частных случаев в одно множество. Эта точка зрения Аристотеля. Другая позиция состоит в том, что переменные а, b, с являются абстрактными символами, которые могут принимать частные значения. Таким образом, начиная с общего, «абстрактного» понятия, мы получаем конкретные понятия как общее понятие плюс выбор значения переменной71. Это точка зрения Платона. Речь идет не о том, чья позиция выше в иерархии позиций. Речь не идет о том, насколько адекватно изображена здесь позиция Аристотеля (скорее всего, не совсем корректно, коль скоро он превратился в предшественника локковской теории абстракции). Ясно, что само расчленение Платоном «эйдосов» и «идей», мимо которого прошли многие историки философии, оказалось весьма перспективным и для осмысления проблемы универсалий, и для понимания диайретического порождения Платоновых эйдетических чисел, и для осознания принципиального различия между трактовкой математики у Платона и Аристотеля. Это принципиальное различие заключается в том, что Платон стремится дать онтологическое обоснование математики в то время, как Аристотель деонтологизирует математику. Аристотель подчеркивает, что философия должна заниматься тем, что в математике называется аксиомами. Более того, даже создается впечатление, что анализ Аристотелем структуры доказательной науки строится по образу и подобию математики. Но необходимо подчеркнуть, что аксиомы математики для Аристотеля являются началами частного знания, причем математик не может и не должен обсуждать истинность или ложность исходных аксиом. Это — задача философии. Аксиомы математики имеют отношение к частной области сущего в то время, как аксиомы, или первопринципы философии — к сущему как сущему. Вместе с тем изучение аксиом является делом не двух наук, а делом философии как науки о всеобщем. При этом Аристотель продолжает онтологическое обоснование аксиом, например, аксиомы равенства, обращаясь к различению единого и множественного. Поэтому философия трактуется Аристотелем как наука, исследующая сущее как таковое, общую природу сущего в отличие от других наук, изучающих его часть72. Но этим исследование аксиом не ограничивается только онтологическим анализом аксиом. Он обращается к гносеологическому и логическому анализу статуса математических утверждений и понятий. Математика основывается на абстрагировании определенных свойств вещей: имея дело с теми же самими вещами, что и физика, она отвлекается от ряда характеристик (от движения, от материи, от делимости и др.) По словам Аристотеля, «математические объекты имеют абстрактное значение, а физические — конкретное»73. Математика, отвлекаясь от чувственной материи и от движения, занимает приоритетное место в иерархии знания по сравнению с тем знанием, которое имеет дело с материальным субстратом, например, арифметика по сравнению с гармонией74. Именно в силу своей неонтологичности, индифферентности относительно сущего математика получает высший статус. Поэтому при анализе математики для Аристотеля важны гносеологические характеристики — абстрагирование от свойств сущего, простота начал, формальность (если говорить современным языком) исходных аксиом, точность и доказательность хода мысли. Подобно философии математика рассматривалась Аристотелем как форма универсального знания. Но, если философия исследует сущее как таковое, то математика анализирует сущее только в его количественной определенности и непрерывное либо в двух, либо в трех измерениях75. Универсальность математики коренится не в ее онтологическом характере, а в универсальности ее логических характеристик таких, как доказательство, точность, количественный подход к непрерывности, фундаментальная значимость принципа непротиворечия. Поставив по уровню универсальности математику в один ряд с философией, Аристотель вместе с тем деонтологизировал математику и дематематизировал физику, оставив ее на долгое время на уровне квалитативистского описания и не превратив математику в mathesis universalis — универсальное знание, выполняющее в несохранившейся (реконструируемой в отдельных фрагментах И. Дюрингом76) «Протрептике» функции первой философии.
________________
61 Аристотель. Метафизика, 1081Ь 30.
62 Там же. 1081а 35.
63 Там же. 1081Ь 28.
64 Там же. 1082b 25.
65 Там же. 1082b 5.
66 Там же. 1082Ь 35.
67 Там же. 1083Ь.
68 Там же. 1086А 30-35.
69 Там же. 1087а 15-20.
70 Там же. 1087Ь 33.
71 Weyl H. Philosophy of Mathematics and Natural Sciences. Princeton. 1949. P. 149-150.
72 Аристотель. Метафизика, IV 3, 1005а 35—36.
73 Аристотель. О небе, III 1, 299а 15.
74 Аристотель. Вторая Аналитика, I 27, 87а 33.
75 Аристотель. Метафизика, XI 3, 1060а 30—35.
76 During I. Aristotle in the ancient biographical tradition. Göteborg, 1957; During I. Aristotle s Protrepticus. An attempt at reconstruction. Göteborg, 1961. О философии математики Платона см.: О. Беккер. Диайретическое порождение Платоновых идеальных чисел // Историко-математические исследования. Вып. 9 (44). М., 2005. С. 288-330; А. Я. Паршин. Идеальные числа Платона (К вопросу об интерпретации) // Владимир Соловьев и культура серебряного века. М., 2005. С. 189—201.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии