Урок 14

Учитель. У нас возник очень важный вопрос: зависит ли справедливость равенства от того, чем, какой единицей мы считаем. Каппа считает, что не зависит, что если мы посчитаем другой единицей, то равенство останется справедливым.
Каппа. Конечно, останется, Вот смотрите, я рисую точки: ........ ........
Их одинаково, восемь точек здесь и здесь. Это мы посчитали точками. Наша единица — точка. Можно это записать так: здесь, слева, восемь точек, обозначаем в кружке единицу, которой мы считаем, и пишем, сколько таких единиц. Получается восемь,. Справа считаем, то же самое получается,. 8=8. Теперь посчитаем другой единицей, например, по две точки. Единицей будет пара точек. Получается слева четыре таких единицы, 4, и справа четыре таких пары, 4. 4=4, или 4=4. И так будет всегда, если мы ничего не прибавляем, никаких новых точек не рисуем. Это, по-моему, совершенно очевидно, если мы считаем что-то, ничего не прибавляя и ничего не отнимая.
Дельта. Ты заранее, до того, как посчитал, знал, сколько здесь точек, тут число было заранее, и справа и слева одинаковое, поэтому оно не изменилось. А если бы мы прибавляли, то неизвестно, столько бы получилось или нет.
Учитель. Поясни, пожалуйста.
Дельта. Ну вот, например. Я рисую слева пять точек. И справа столько же, пять, но не точек, а квадратов.

Потом я слева пририсовываю еще три точки. И справа пририсовываю еще три квадрата.

Каппа. Ну и получится восемь, конечно. И там и там восемь, потому что 5+3=8. Это всегда так будет, что бы мы ни считали, какой бы единицей мы ни считали.
Альфа. Пример Дельты отличается от примера Каппы не только тем, что в первом примере мы ничего не прибавляли, а считали одни и те же точки, только разными единицами, а во втором примере мы прибавляли. Есть еще одно отличие. В первом примере мы считали одно и то же, только единицу выбирали разную. Мы могли точки считать и точками, и парами точек. А во втором примере мы считали разные вещи. Ведь нельзя точки считать квадратами, а квадраты — точками. Тут мы не могли выбирать разные единицы или одинаковые, потому что вещи, которые мы считали, разные.
Каппа. Правильно, я и говорю, что совершенно все равно, что считать, какие вещи и какой единицей, 5+3 всегда будет 8, независимо от того, что мы считаем.
Дельта. Ну откуда ты знаешь, что всегда?
Каппа. Да из твоего же примера так получается.
Гамма. Мы же проверили только один пример.
Каппа. Ну давайте проверим еще сто примеров, увидите, что всегда так будет.
Учитель. А разве, если мы проверим еще сто примеров и убедимся, что для этих ста утверждение Каппы справедливо, разве сможем мы тогда утверждать, что так будет всегда?
Альфа. Можем еще больше проверить, наверное, так будет всегда. Только это очень долго.
Дельта. А может быть, с какими-нибудь числами, например с очень большими, и не получится. Мы ведь не можем проверить все примеры со всеми числами.
Учитель. Дельта, ты все время говоришь про большие числа, для тебя они сильно отличаются от маленьких...
Дельта. Да, маленькие числа мы видим сразу. Когда предметов пять или шесть, мы это сразу можем видеть. И даже если мы говорим не о предметах, а о самих числах, как Эта, то маленькие числа сразу видно, как они устроены, какой формы.
Бета. Если считать, что числа получаются от счета предметов, то тоже с большими числами непонятно. Ведь, наверное, никто не пересчитывал никогда миллион предметов. И непонятно, как могли получиться очень большие числа. И если понимать число, как Гамма, что все числа получаются из единиц, то все равно до больших чисел никогда нельзя добраться, до очень больших. И непонятно, что с ними происходит. Что ни понимай под числами, все равно получается, что большие числа какие-то не такие. Может быть, только если по-Каппиному понимать числа...
Каппа. Да, если по-моему понимать, то надо только научиться складывать большие числа и все остальное с ними делать, что можно делать с числами вообще. Если окажется, что все это можно с большими числами делать, то, значит, они т а к и е ж е ч и с л а.
Дельта. И все-таки мы не можем проверить, как они себя ведут, большие числа ³³.
Альфа. Ну, приведите кто-нибудь пример, хотя бы с очень большими числами, в котором это не так.
Бета. Я не могу привести такой пример, но, по-моему, это ничего не доказывает.
Альфа. Как это — ничего не доказывает?
Бета. Ну, если какая-нибудь вещь не случалась до сих пор, разве это доказывает то, что она не может случиться никогда? Все когда-то случилось в первый раз, а до этого не случалось.
Каппа. И что, ты думаешь, когда-нибудь может случиться, что пять плюс три не равно восьми, а равно какому-нибудь другому числу? Или один плюс один равнялось не двум?
Бета. Не знаю. Не думаю, чтобы так могло случиться. Но ведь нам надо точно знать, а не просто думать ³⁴.
Эта. А я, кажется, придумал такой пример.
Учитель. Какой пример?
Эта. Ну вот, например. У меня есть кусок пластилина. И еще один кусок пластилина. Один плюс один будет два, да? А если я соединю эти кусочки, то они сольются в один, будет не два, а один.
Бета. Ты хочешь сказать, что в твоем примере один плюс один равно одному?
Эта. Не знаю.
Дельта. Ты не просто складываешь эти кусочки пластилина, ты сжимаешь их, слепливаешь. Ты делаешь то, о чем раньше сам говорил: из двух делаешь одно. А если их просто положить рядом, один кусочек и еще один, то их будет два кусочка.
Эта. Хорошо, я не буду ничего делать, сжимать, склеивать. Я возьму и капну на стол воду. Сколько здесь капель?
Дельта. Одна.
Эта. А теперь я к ней капну еще одну, смотрите. Сколько получилось?
Дельта. Одна капля, только больше, чем первая.
Эта. Но ведь одна, не две.
Дельта. Да, одна капля ^*24.
Каппа. Такие вещи нельзя считать. Если капля меняется — то большая, то маленькая, значит, она не может быть единицей, мы не можем ею считать.
Гамма. Что значит не можем? Ясно, что здесь одна капля. Можно капнуть две капли, и три, и четыре. Сколько угодно. По-моему, можно капли считать.
Каппа. Нельзя капли считать.
Учитель. Почему?
Каппа. Потому что нельзя считать такие вещи, с которыми так может получаться, что один плюс один равно один.
Учитель. А какие это такие вещи?
Каппа. Ну, наверное, которые меняются.
Бета. Вот два человека, например мы с тобой. Мы растем, значит, меняемся. Но все равно нас остается двое. Нас можно считать?
Каппа. Наверное, можно, потому что ты, хоть и меняешься, но остаешься собой. Ты — это ты, а я — это я. Значит, наверное, можно считать. Но вещь если одна, то должна всегда оставаться одна, чтобы можно было считать.
Бета. А вот человек живет, живет, потом умирает. Значит, не остается всегда столько же.
Каппа. Значит, в таких случаях нельзя считать.
Учитель. А когда можно?
Альфа. Можно считать, во-первых, отдельные вещи, которые не сливаются, как наши капли. И во-вторых, вещи, которые не умирают, то есть всегда сохраняются. Если есть одна вещь, то и будет одна, никуда не исчезнет. Если есть две вещи, то будет две ^*25
Учитель. Значит, можно считать вещи, которые не исчезают, сохраняются, и те вещи, которые не соединяются друг с другом, существуют всегда как отдельные вещи, так?
Бета. Кажется совершенно ясным, что можно считать, а что нельзя. А когда пытаешься это объяснить, сформулировать, то все становится непонятным.
Учитель. Каппа сказал, что можно считать те вещи, для которых один плюс один всегда равно двум.
Бета. Но ведь это не объяснение. Это все равно что сказать: можно считать те вещи, которые можно считать ³⁵
Звонок

_________________________
³³ Ф. Клейн, говоря о развитии понятия числа, полагает, что в ос­нове представления о «маленьких» и «больших» числах лежат инту­иции разного типа, в частности разные представления о пространст­ве. «...С одной стороны, можно иметь в виду непосредственное чув­ственное, эмпирическое представление о пространстве, которое мы контролируем при помощи измерения; с другой стороны, — отвле­ченное внутреннее представление о пространстве, можно было бы сказать, присущую нам идею о пространстве... Что означает неболь­шое число 2, 5 или 7, нам непосредственно ясно, но о больших чис­лах, например о числе 2503, мы уже не имеем такого непосредствен­ного, наглядного представления. Здесь, напротив, находит себе при­менение внутреннее представление о расположенном числовом ряде, которое мы себе составляем, исходя из начальных чисел, при помощи совершенной индукции». — Клейн Ф. Указ. соч., с. 55. Большие числа имеют особый смысл и в физических науках. Указывая, что логическое определение иррационального числа относится к точной математике и не имеет значения для физических наук, Клейн пишет:
«На первый взгляд это находится в противоречии с законом рацио­нальных указателей в кристаллографии или, например, с тем, что в астрономии приходится различать случаи, существенно разные, ког­да времена оборотов двух планет имеют рациональное или иррацио­нальное отношение. В действительности же... здесь понятие "рацио­нальное" и "иррациональное" нужно понимать в совершенно другом смысле... Когда здесь говорят, что величины имеют рациональное от­ношение, то под этим разумеют, что их отношение выражается парой небольших чисел, например 3/7. Такое же отношение, как 2012/7053 здесь, несомненно, отнесли бы уже к иррациональным. Насколько, собственно, велики могут быть числитель и знаменатель, это меняется от случая к случаю, в зависимости от условий вопроса». — Там же, с. 56—57. То есть большие числа могут даже иметь значение иррацио­нальных, настолько их природа в некоторых отношениях отлична от маленьких.
Ср. также проблему «недостижимых чисел». — Френкель В. А., Бар-Хиллел И. Указ. соч., с. 113—115.

³⁴ У учеников впервые возникает проблема доказательства в отличие от проверки справедливости частного случая. Эту проблему обсуждает А. Пуанкаре в книге «Наука и гипотеза». Рассмотрев доказательство того, что 2+2=4, выполненное Лейбницем (см. Пуанкаре А. О науке. М., 1983, с. 12), он пишет: «Это, собственно говоря, не доказательство, а проверка... Проверка именно тем и отличается от истинного доказатель­ства, что, будучи чисто аналитической, она остается бесплодной. Она бес­плодна, потому что заключение есть только перевод предпосылок на дру­гой язык. Истинное же доказательство, наоборот, плодотворно, ибо в нем заключение является в некотором смысле более общим, чем посылки.
Равенство 2+2=4 могло подлежать проверке только потому, что оно является частным случаем. Всякое частное выражение в математике может быть таким образом проверено. Но если бы математика должна была сводиться к ряду таких проверок, то она не была бы наукой... Можно даже сказать, что точные науки имеют своей задачей избавить нас от необходимости таких прямых проверок». — Там же, с. 13. По­пытка доказать общее положение (любое), касающееся, например, опера­ций с натуральными числами, исходя из «проверенных» частных случа­ев, приводит к проблеме (математической) индукции, — см. Пуанка­ре А. Указ. соч., с. 292—296. Несводимость доказательства к проверке, поскольку проверены могут быть только частные случаи, а доказано должно быть общее положение (под которое может подпадать бесконеч­ное число частных случаев), подмечает на нашем уроке Дельта, говоря: «Мы ведь не можем проверить все примеры, со всеми числами».

^*24 Идея принадлежит В. Г. Касаткиной и Н. И. Кузнецовой.

^*25 Петя Филатов, 2 класс.

³⁵ Вопрос о применимости счета действительно очень сложен. Ср., на­пример: «Что же касается арифметики, то она пользуется лишь неболь­шим числом опытов, каждый из которых был огромное число раз повто­рен человеком с тех пор, как люди существуют. Таким образом, мы знаем совершенно точно, в каких случаях арифметика применима, в ка­ких нет. В последнем случае мы и не пытаемся делать это. Мы так при­выкли применять арифметику лишь тогда, когда она применима, что забываем о существовании таких случаев, когда она неприменима. Мы утверждаем, например, что два плюс два будет четыре. Я наливаю две жидкости в один стакан и две жидкости в другой; затем сливаю все в один сосуд. Будет ли он содержать четыре жидкости? "Это недобросо­вестно, ответите вы; это не арифметический вопрос". Я сажаю в клетку пару животных, затем еще пару; сколько животных будет в клетке? "Ваша недобросовестность, скажете вы, еще более вопиюща, так как ответ зависит от породы животных; может случиться, что один зверь пож­рет другого; нужно также знать, должно ли производить учет немедлен­но или через год, в течение которого животные могут издохнуть или дать приплод. В сущности, вы говорите о совокупностях, про которые неизвестно, неизменны ли они, сохраняет ли каждый предмет совокуп­ности свою индивидуальность и нет ли предметов, исчезающих и вновь появляющихся".
Но что означает сказанное вами, если не то, что возможность приме­нения арифметики требует выполнения известных условий. Что же ка­сается правила распознавания, приложима ли она, которое вы мне дали, то оно, конечно, практически превосходно, но не имеет никакой теоре­тической ценности. Ваше правило сводится к утверждению, что арифме­тика применима тогда, когда она применима. Вот почему нельзя дока­зать, что два и два будет четыре, что тем не менее является непрелож­ной истиной, так как ее применение нас никогда не обманывало». — Лебег Г. Указ. соч., с. 18. Формулировка «арифметика применима тог­да, когда она применима» практически совпадает с претензией Беты, адресованной Каппе («Это все равно, что сказать можно считать те вещи, которые можно считать»).