Урок 13

Учитель. Мы обсуждаем опять смысл знака равенства. Выяснилось, что дело еще сложнее, чем мы предполагали вначале. Мы выяснили, что даже в самом простом примере, 5=5, если мы внимательно посмотрим, что делаем, то обнаружится, что сначала у нас есть как бы отдельно две пятерки, про которые мы не знаем, равны ли они, и только потом, выполнив некоторое действие, сравнив их, мы можем записать знак равенства, утверждать, что они равны.
Дельта. Да, и записывали мы это так: 5 5 → 5=5. Но раз мы выяснили, что здесь тоже есть некоторое действие, а не сразу дано равенство, то значит, что мы получаем новый результат, и можно записывать так: 5 5 → 5||5, с перевернутым знаком. Потому что это тоже действие и тоже получается что-то новое.
Эта. Да, это тоже действие, и что-то новое мы получаем, но не получаем нового числа. В примере, где мы складываем, 5+3||5, мы не просто что-то новое получаем, мы новое число получаем. А здесь мы не получаем нового числа. Поэтому здесь все-таки нужен другой знак равенства.
Альфа. А в таком примере: 2+3 б? Здесь какой знак нужен? Мы установили, что на самом деле мы здесь два действия выполняем: складываем два и три, получаем пять и потом сравниваем эти два числа — пять и шесть. Узнаем, что они не равны. Записываем это так: 2+3 6 → 2+3||5, 5≠6 → 2+3≠6 или 2+3 6? Тут
какой знак нужен, если он обозначает сразу два действия — одно с перевернутым и одно с неперевернутым знаком?
Эта. Тут, наверное, нужен перевернутый знак. Ведь все-таки мы в промежутке получаем новое число. Даже в том случае, когда у нас равенство, например 2+3||5, мы тоже получаем новое число, пять, которое есть результат сложения двух и трех, и потом сравниваем с пятеркой, которая была записана вначале. Это одинаковые числа, но не одно и то же число. Чтобы установить, что они одинаковые, нам нужно выполнить действие, сравнить их. Я считаю, что здесь тоже новое число появилось, поэтому надо писать так: 2+3 5 → 2+3||5, 5=5 → 2+3||5. С перевернутым знаком.
Дельта. Но это совсем не обязательно, чтобы новое число появлялось, именно число, а не просто что-то новое, какой-то результат. Вот смотрите, например я пишу 1+1 и пишу , как мы записывали, в клеточках. И нужно узнать, равны эти числа или нет. Ну неужели надо сначала посчитать, что 1+1||2, получить эту двойку, которой в задании не было? По-моему, совсем не нужно. И так ясно сразу, что один плюс один намного меньше двадцати пяти. Я думаю, что тут дело не в том, что мы посчитали 1+1||2, только очень быстро, потому что это легкий пример. Тут вообще считать не нужно. И я пишу так: 1+1 → 1+1≠ , без промежуточного действия, потому что тут одно действие, и ставлю неперевернутый знак, потому что никакого нового числа мы тут не получили.
Бета. Какой удивительный этот знак! Чем больше мы им занимаемся, тем больше странностей в нем обнаруживается. Выясняется, что когда кажется — мы не получаем нового числа, на самом деле мы его получаем. И бывает наоборот, как в примере, который привел Дельта. Этот пример выглядит точно таким же, как и пример 2+3 6, но, оказывается, здесь не нужно получать нового числа.
Каппа. Вот я и предлагаю писать всегда один знак = и иметь под этим в виду, что справа и слева от него записаны равные числа. А как они получаются и что мы делали, чтобы установить, что равно, никак не обозначать. Я согласен, что в разных примерах этот знак имеет разный смысл, но кроме этого есть еще и общее, что мы будем обозначать этим знаком.
Альфа. Ну хорошо, давайте будем обозначать его всегда одинаково, этот удивительный, таинственный, загадочный знак. Получается, что мы пришли к тому же, с чего начали. Он у нас и был сначала один. Потом мы заметили, что он может означать разные вещи. И обсуждали смысл этих разных вещей. И пришли к тому же самому: выяснили, что мы не можем знать, когда нужно писать перевернутый знак, когда — неперевернутый.
Дельта. Так что же, мы зря это все обсуждали?
Учитель. Как ты думаешь?
Дельта. Не знаю. Раз мы пришли к тому же, с чего начали, то, кажется, зря. И вводили разные знаки, от которых потом все равно отказались. И спорили целый
урок, где какой знак писать, а теперь решили, что всегда будем писать одинаковые знаки.
Бета. Нет, не зря. Мы будем писать одинаковые знаки, да, но мы узнали, что в этом одном знаке может быть разный смысл. Мы не знали, какой знак когда писать, потому что есть спорные случаи и потому что иногда сразу оба смысла в одном действии. Но теперь мы знаем, как много разных вещей может означать этот знак ³¹.
Альфа. Странно. Я думал, что когда мы учимся, когда обсуждаем что-то, то мы делаем сложные, непонятные вещи простыми и понятными. А получается наоборот: мы простые и понятные вещи делаем более сложными.
Эта. Да, так все время получается, что мы делаем вещи более сложными. Вот в самом начале, на первом уроке, когда нас учитель спросил, знаем ли мы, что такое число, мы все сказали: да, знаем. Никто не думал, что он не понимает, что такое число. А теперь ясно, насколько это сложная и непонятная вещь — число.
Учитель. Но как вы думаете, мы теперь меньше знаем про число, чем знали на первом уроке?
Эта. Нет, конечно, больше. Оно стало для нас более сложным, но мы теперь больше о нем знаем. Я раньше тоже думал, как и Альфа, что чем больше мы знаем о какой-то вещи, тем проще она нам кажется. Сейчас я понял, что на самом деле это не так. Мы многих сложностей просто не можем увидеть, пока не начнем подробно и внимательно заниматься какой-то вещью, поэтому она вначале кажется простой.
Учитель. Я хочу вернуться к нашему знаку равенства. Каппа сказал, что в наших разных знаках равенства, которые мы писали на прошлом уроке, все-таки есть какой-то о б щ и й с м ы с л, и предложил именно это обозначать знаком равенства. Каппа, поясни, пожалуйста, какой же смысл общий для этих знаков.
Каппа. Я думаю так. Когда мы пишем равенства, например 5=5 или 2+3=5, то здесь, конечно, есть разница. В первом случае мы сравниваем два числа, а во втором складываем два числа и получаем третье. Но общее то, что и в том и в другом случае справа и слева от знака равенства записано с т о л ь к о ж е. Пять — это столько же, сколько пять. И пять — это столько же, сколько два плюс три.
И если мы не будем обращать внимания на то, как получились эти пятерки и были ли они сразу равны или мы их приравняли с помощью каких-то действий, а будем обращать внимание только на одну вещь: сколько, тогда эти знаки равенства значат одинаково. Пять всегда равно пяти и два плюс три всегда равно пяти. Это всегда правильные равенства, независимо от того, как мы их понимаем.
Учитель. Каппа, вот ты сказал, что мы будем обращать внимание только на одну вещь: сколько. А сколько чего? Помнишь, мы выяснили, что ответ на вопрос «сколько?» зависит от того, чем мы считаем, какой единицей?
Дельта. Да, у нас еще, помните, получилось, что два равно восьми, и это было неправильно, потому что мы не указали единицы, а когда указали, какой единицей считаем, то получилось, что два квадрата равно восьми точкам.
Каппа. Конечно, я все время имею в виду, что мы считаем единицы. Мы сначала договорились, какую единицу выберем, и потом все время ею считаем.
Эта. И разве не важно, какую единицу мы выберем?
Каппа. Конечно, не важно. Важно только, чтобы она была одна. У нас получилось неправильное равенство, два равно восьми, потому что мы поменяли единицу. А если она все время одна, то не важно, какая. Точно так же не важно, что мы считаем, чтобы сказать, что 2+3=5. Важно только, чтобы мы считали одно и то же и все время одной и той же единицей.
Дельта. А я совсем не уверен, что это не важно. Может быть, все-таки справедливость этого равенства зависит от единиц, которые мы выберем, откуда ты знаешь?
Каппа.Откуда? Не знаю откуда.Это совершенно очевидно, по-моему ³².
Звонок
_________________________
³¹ Обсуждая на этом и двух предыдущих уроках смысл знака =, уче­ники подходят к двум интересным понятиям:
1) К понятию тавтологического равенства. Например, в выражении а=а равенство верно при любом а, оно тавтологично. В выражении а=b+с равенство верно только при определенном отношении между а, b и с.
2) Намечается разведение идей «равенства» как совпадения (число, фигура равны в этом смысле только самим себе) и «равенства» как эк­вивалентности, при котором «эквивалентные» объекты могут не совпа­дать; достаточно, чтобы отношение равенства в этом смысле было тран­зитивным, рефлексивным и симметричным. Так, например, по определе­нию Дедекинда два числа называются равными, если они производят одно и то же сечение в области рациональных чисел. При этом вопрос о «совпадении» или «одинаковости» чисел в том смысле, о котором гово­рит Гамма, не рассматривается, доказывается лишь, что r=r, если r=s, то s=r, и если r=s, s=t, то r=t. Определение Вейерштрасса обнаружива­ет это вполне отчетливо: два числа называются равными, если они отли­чаются друг от друга меньше чем на любое данное положительное раци­ональное число. Здесь равные числа прямо определяются как отличаю­щиеся, т. е. не совпадающие между собой. Так, например, числа 1 и 0,999999... отличаются и по способу получения, и по «устройству», и по форме записи, между тем они равны на основании указанного определе­ния. См.: Клейн Ф. Указ. соч., с. 53.
В. А. Френкель и И. Бар-Хиллел выделяют три возможных подхо­да к понимание отношения равенства:
«а) Отношение равенства считается принадлежащим к лежащей в основе логики... х и y равны, если они суть одна и та же вещь.
b) Равенство... рассматривается в качестве одного из первоначальных отношений системы... При этом следовало бы обеспечить при помощи соответствующих аксиом рефлексивность, симметричность и транзитив­ность равенства, т. е. что равенство является отношением эквивален­тности, а также его подстановочность... по отношению к другому пер­воначальному отношению...
с) Знак равенства вводится посредством определения...». — Френ­кель В. А., Бар-Хиллел И. Указ. соч., с. 43., см. также с. 45—49.
Ученики (в частности, Каппа) подходят к осознанию различия меж­ду подходами а) и b) в описании В. А. Френкеля и И. Бар-Хиллела. Эта и Гамма замечают еще один смысл равенства — как фиксации некото­рой операции (ср. реплику Эты в конце урока 9). В этом последнем смысле равенство не является симметричным до конца, так как слева от него стоит «материал» операции, преобразования, а справа — резуль­тат. Так, например, в выражениях 3+2=5 и 5=3+2 знак = обозначает разные действия: в первом случае — сложение, во втором — представ­ление числа в виде суммы двух слагаемых, т. е. действие, обратное сло­жению.

³² Вопрос, поднятый Дельтой, не так уж прост. Ср., например: «...на­меченное мной изложение (правил действий над обобщенными числами, о которых все время говорит Каппа. — И. Б.) нуждается в следующей важной оговорке: число имеет конкретное значение, лишь когда единич­ный отрезок зафиксирован; в этом случае оно является результатом сравнения с U отрезка, который может быть восстановлен по величине, исходя из данного числа. Отсюда следует, что совершенно не было a pri­ori очевидным, что если из двух чисел х и у х было большее при еди­нице U, то оно будет также большим при всякой другой единице; что если числа составляли две последовательности значений, неограниченно приближающихся к числу z при единице U, то то же будет при всякой другой единице; что если имеем отношение u=s+t, при единице U, то оно сохранится и при всякой другой единице и т. д.». — Лебег Г. Указ. соч., с. 29. Г. Лебег вводит числа через изме­рение величин; сказанное выше относится и к счету, когда он понимает­ся как частный случай измерения, через сравнение с заданной единицей. Такой способ понимания числа имплицитно содержится в высказывани­ях Беты. Последний пример Г. Лебега, u=s+t, буквально совпадает с затруднением Беты и Каппы.
Г. Лебег дальше пишет: «Лишь потому, что сравнение цифр х и у позволяет установить, какое из них больше, лишь потому, что цифры числа z определены цифрами , а цифры чисел s и t определяют цифры и и т. д., все эти случаи независимы от выбора U, и можно гово­рить, например, о произведении двух чисел, а не только о произведении двух чисел при единице U». — Там же. Последняя фраза формулирует то, к чему все время стремится Каппа. Но неочевидность этой возмож­ности, о чем пишет Г. Лебег, ему не ясна.