Учитель. Помните наши спорные примеры? Мы так и не выяснили, какие знаки правильно писать в таких примерах: 2+3 5 и 2+3 6. У нас были такие варианты: 2+3=5 и 2+3||5 и для второго примера 2+3≠6 и 2+3 6.
Ламбда. Это очень странные примеры. Вообще, чем больше мы занимаемся, тем делается все страньше и страньше, как сказала Алиса в Стране Чудес.
Учитель. Чем же они такие странные?
Ламбда. Потому что из них не видно, что мы делаем. Раньше, пока мы только складывали, записывали только вложение, из примера, готового примера, было ясно, что мы делаем. Например, мы в самом начале записывали 2+2=4. Еще не различали разных равенств. И было ясно, что сначала у нас было 2 и 2, а потом мы их сложили и узнали, что это 4. Мы спорили, как мы узнаем — по одному пересчитываем или сразу видим, но было ясно, что вначале было два и два, а потом четыре. Теперь, когда мы и складываем числа, и сравниваем их, из готового примера не видно, что мы делали. Мы написали 2+3=5. Непонятно, то ли у нас сначала было два и три, потом мы сложили их и получили пять, то ли уже было два плюс три и было пять и мы установили, что они равны, и записали знак равенства.
Дельта. Ты сначала писал 2+3, потом равно, потом пять, я видел.
Ламбда. Да, ты видел, как я писал. Но если бы у тебя была только готовая запись, ты по ней не смог бы установить, что я делал — считал или сравнивал. По готовой записи непонятно, в чем заключалось действие.
Бета. Можно писать сначала задание, потом делать его, чтобы Ламбда видел, что мы делаем, какое действие. Например, два плюс два, нам надо посчитать, что получится. Пишем сначала только задание: 2+2, не пишем результат. Потом ставим стрелочку, это значит, что мы начинаем решать, выполнять задание. И пишем решение. Вся запись будет выглядеть так: 2+2→ 2+2 ||4. Знак перевернутый, потому что мы получили новое число. Тут ясно, что сначала у нас было два плюс два, потом мы сложили и получили четыре. Если у нас было вначале два плюс два и четыре, а задание заключалось в том, чтобы поставить между ними знак, то пишем сначала два плюс два и четыре, между ними ничего нет, потом стрелочку, это значит, что мы выполняем действие, а потом уже пишем пример со знаком равенства. Получится такая запись: 2+2 4 → 2+2=4. Ясно, что мы делали: мы сравнили два и два с четырьмя.
Ламбда. Да, так ясно. Ты подробно написал то, что мы раньше писали сразу. Сначала написав задание, что надо было сделать, потом — как мы это делаем. Результат одинаковый: 2+2=4, но видно, что действия мы делали разные и поэтому в записи результата разные знаки: = и ||.
Альфа. Даже в простых примерах, которые мы раньше решали, только на сложение, так бывало. Например, 2+2=4 и 3+1=4. Результат получается одинаковый, а числа мы складываем разные.
Гамма. А по-моему, и в той записи, которую предложил Бета, не все видно. Она тоже недостаточно подробная, хотя и более подробная, чем раньше. Вот возьмем наш пример, о котором мы спорили, как его записывать: 2+3 5. Мы ведь на самом деле здесь два действия выполнили, а не одно. Мы сначала посчитали, сколько будет два плюс три. Это будет пять. И потом мы сравнили этот результат с той пятеркой, которая была вначале. Увидели, что они равны, и записали знак равенства. Совсем подробная запись будет выглядеть не так, как предложил Бета: 2+3 5 → 2+3=5. А так: 2+3 5 → 2+3||5, 5=5 → 2+3=5. Тут видно подробно, что мы делали.
Каппа. Еще яснее это в другом примере, где получается неравенство: 2+3 6. Его подробно можно записать так: 2+3 6 → 2+3||5, 5≠6 → 2+3≠6. Сначала считаем, сколько будет два плюс три. Получаем пять. Потом сравниваем пять с шестеркой, которая была с самого начала, видим, что они разные, и пишем знак неравенства.
Бета. А почему ты записал в самом конце, в ответе, не перевернутый знак неравенства? Ведь если у нас тут два действия, в одном мы получаем новый результат и пишем поэтому перевернутый знак, в другом просто сравниваем и пишем обычный знак, то неясно, какой знак писать в ответе — обычный или перевернутый?
Каппа. Да, неясно. Этот знак равенства как бы включает в себя оба смысла равенства, о которых мы говорили. Или делает неважным отличие этих смыслов. Наверное, здесь надо писать просто равенство. Впрочем, не уверен. Действия, которые мы здесь выполняли, сложнее, чем когда мы просто сравниваем два готовых числа. И новое число здесь получается. Это особенно ясно видно во втором примере: 2+3≠6. Тут в промежутке получилось новое число 5, которого не было в задании, мы сравнили его с шестью и узнали, что они не равны, а сразу 2+3 и 6 мы не могли сравнивать, пришлось сначала посчитать. На самом деле и в первом примере, 2+3=5, то же самое. Мы сначала посчитали, что два и три будет пять, и получили эту пятерку, а потом ее сравнили с пятеркой, которая была в самом начале задания, и выяснили, что они равны. Это не так заметно, как в примере 2+3≠6, потому что получается пятерка и пятерка. Но на самом деле действия здесь такие же.
Учитель. Каппа, не противоречишь ли ты себе? Ты говорил, что пятерка и есть пятерка, независимо от того, как она устроена или откуда она получается, а теперь говоришь, что есть пятерка, которая была сразу, и пятерка, которая получилась, когда мы посчитали, сложили 2+3, и, чтобы установить, что они равны, надо еще сделать отдельное действие, сравнить их. Если нужно отдельное действие, чтобы сравнивать их, значит, эти пятерки не одно и то же.
Каппа. Да, я согласен, что здесь есть противоречие. Не знаю, как быть с этим.
Гамма. Смотрите, какая удивительная вещь получается! Вот только что возникла, когда мы записали подробно, в два действия, что мы делали в этих примерах. Если пятерка, которая получилась от 2+3, и пятерка, которая была сразу, еще требуют отдельного действия, чтобы их сравнить, значит, когда у нас есть просто пять и пять и мы отдельным действием их сравниваем, вот я запишу это подробно: 5 5→ 5=5, значит, они сначала как бы не равны? Нужно особое действие сделать, чтобы узнать, что они равны?
Дельта. Ну, это сразу видно, что здесь нужно делать.
Гамма. Конечно, видно. Но когда мы подробно записываем, что делаем, то обнаруживается, что то, что нам сразу видно, на самом деле довольно сложная вещь. Ведь когда мы записываем 5 5→ 5=5, мы сначала как бы смотрим на эти пятерки по отдельности, как на разные, во всяком случае как неизвестно на какие, разные или одинаковые. И потом только устанавливаем, что они равны. Значит, можно считать, что даже здесь знак равенства имеет второй, сложный смысл, и записывать так: 5 5 →5||5.
Учитель. Гамма говорит очень интересную и сложную вещь. Помните, Бета сказал, что мы с числами можем по-разному обращаться: можем их получать или использовать при счете, а можем как бы внимательно разглядывать числа сами по себе, думать, что они такое. Вот сейчас подобная же вещь обнаружилась с действиями. Мы можем их просто выполнять, правильно или неправильно, и записывать. А можем внимательно рассматривать, исследовать сами действия. Не только числа, но и действия с числами. И когда мы их исследуем, а для этого очень подробно, иногда кажется, что излишне подробно, записываем, что же мы именно делаем, когда выполняем эти действия, то обнаруживается нечто такое, чего мы сразу не видели в этих действиях, когда их выполняли.
Звонок
- Войдите, чтобы оставлять комментарии