Учитель. Мы на прошлом уроке пришли к выводу, что знак = может иметь два разных смысла: просто указывать на то, что у нас одинаковые числа, и означать, что мы что-то сделали с числами и получили какой-то результат, что-то новое.
Каппа. Да, и самое удивительное, что оба эти разных смысла могут появляться не только тогда, когда мы по-разному понимаем числа, то как устроенные, имеющие форму, то как получающиеся от счета, то как просто то, что можно складывать, отнимать и так далее. Последний пример Гаммы для меня был особенно удивительным. Гамма писал цифры, ничего не рисовал. Писал обычные цифры, которые для меня означают просто числа, не имеющие формы, как я их понимаю. Не двойку, тройку, пятерку, восьмерку, как предложили Ламбда и Альфа называть «устроенные» числа Эты, а просто два, три, пять, восемь, даже лучше вообще не называть их словами, а просто обозначать цифрами, чтобы было ясно, что никакого устройства мы не имеем в виду 30. Просто 3, 5, 8. И все равно для меня очевидно, что в примерах 5+3=8 и 8=8 знак = имеет разный смысл. В первом примере он означает, что мы сложили два числа и получили результат, во втором означает только то, что 8 и 8 — это одно и то же число. И это очень странно.
Бета. А может быть, во втором примере мы тоже что-то должны были сделать, чтобы написать знак равенства? Может быть, это равенство не так уж сразу было?
Дельта. Ну что мы там могли делать? Восемь и восемь — это сразу одно и то же. Другое дело — первый пример, там надо сложить и посчитать, выполнить некоторое действие.
Альфа. А может быть, во втором примере тоже надо было сделать некоторое действие, только другое, не сложение?
Учитель. Какое же?
Альфа. Помните, Каппа говорил, что с числами можно делать еще одно действие — сравнение? Что их можно сравнивать и узнавать, одинаковые они или разные. Вот, может быть, во втором примере мы сравнили числа, и это и было то действие, которое мы выполнили?
Дельта. Это, может быть, и действие, но какое-то уж очень маленькое, легкое. Собственно, делать-то ничего не надо, просто посмотреть надо на оба числа, и сразу видно, что это одинаковые числа, одно и то же число.
Гамма. Ну и что, что маленькое, легкое. Если у нас есть действие, то не важно, маленькое оно или большое, важно, что оно есть. Помните, на первых уроках мы заметили, что с маленькими числами дело обстоит не так, как с большими, их легко сразу видеть, не надо специально считать? Мы еще спорили, правда ли их не надо считать или же мы их все равно считаем, только быстро и незаметно для себя. Вот здесь, по-моему, похожая вещь, мы быстро замечаем, что это одинаковые числа, и поэтому кажется, что мы вообще ничего не делаем, что сразу ясно, что они одинаковые.
Эта. Тут дело в другом. Не в том, быстро мы делаем действие или медленно, а в том, что в первом случае мы получаем новое число, которого не было раньше, а во втором случае не получаем нового числа. Именно поэтому Каппа и согласился. Если бы дело было в том, что сразу что-то видно, быстро получается, он бы не согласился. На такие вещи он не обращает внимания.
Учитель. Значит, разница в том, что в одном случае мы получаем новое число, которого не было раньше, а в другом случае — нет, так?
Бета. Так, и это настолько большая и серьезная разница, что я даже думаю, не ввести ли разные обозначения для знака = в первом и во втором смысле. Знаки, которые обозначают разные вещи, должны быть разные.
Альфа. Да, я согласен с Бетой. Я предлагаю, когда мы имеем в виду «равно» в смысле одинаково, то же самое, писать один знак, а во втором случае, когда мы имеем в виду «получается», писать другой знак.
Учитель. Давайте попробуем. Какие же мы придумаем знаки?
Бета. Ну, например, можно так. Когда мы хотим сказать, что числа равны в том смысле, что это одно и то же число, будем писать такой же знак равенства, как писали раньше, =. А когда мы хотим сказать, что получаем результат, новое число, то будем писать тот же знак, но перевернутый, вот так: ||
Учитель. Ну что ж, давайте попробуем так. Я сейчас дам вам несколько примеров, и мы напишем те знаки равенства, которые нужны по нашей новой договоренности. Я пишу шесть и шесть, 6 и 6, а вы поставьте тот знак, который нужен.
Дельта. 6=6. Здесь те же самые числа, мы ничего нового не получаем.
Учитель. 2+3.
Гамма. 2+3 || 5. Здесь нужен наш новый знак, мы должны получить новое число, которого не было раньше.
Учитель. 4 и 5.
Эта. 4≠5. Это разные числа. Пишем знак равенства обычный, не перевернутый, и перечеркиваем.
Учитель. 2+3 и 5. Я пишу два плюс три и рядом пять, между ними надо поставить знак равенства простой или перевернутый?
Дельта. Тут три числа записано, а не два. Как можно поставить знак равенства? Мы можем два числа между собой сравнивать.
Бета. Но тут же не просто три числа записаны, тут записан пример на сложение, 2+3, каких мы уже много решали, и кроме этого еще одно число.
Гамма. Мы такой пример уже решали. Это легко: 2+3=5.
Учитель. Правильно ли, что Гамма поставил простой знак равенства, не перевернутый?
Бета. Нет, наверное, неправильно. У нас ведь не было двух чисел, одинаковых или разных, которые мы должны были сравнить. У нас был пример на сложение, мы сложили два и три и получили пять. Правильно будет записать так: 2+3 ||5. Вон он, этот пример, уже записан на доске.
Ламбда. Нет, тут что-то не то. Это другой пример, не тот, что был записан. Мы ведь не получили эту пятерку, или это число пять, так будет правильнее, от сложения. Оно сразу было записано, это число. Помните, что было записано вначале: 2+3 и 5. Все числа сразу были, не было только знака равенства между ними. Мы здесь не получали никакого нового числа. И поэтому надо писать другой знак: 2+3=5. Здесь не было получено результата, нового числа, которого раньше не было.
Учитель. Пожалуйста, запишите еще один пример: 2+3 и 6. Поставьте здесь правильный знак.
Альфа. Это неправильный пример, правильный будет: 2+3=5. Или: 2+3|| 5, мы еще не выяснили. Но во всяком случае 2+3 — не шесть, это неправильно.
Учитель. Но я и не говорил, что 2+3 — это шесть. Я просто написал 2+3 и 6 и просил вас поставить между ними знак. Так что нельзя говорить, что это неправильно. Если бы я написал так: 2+3=6, то я бы утверждал, что два плюс три равно шести, ты бы мог сказать: нет, это неправильно. А пока я не утверждал ничего.
Дельта. Мы уже записывали неравенства, помните: 4≠5. Здесь то же самое: 2+3≠6. Два плюс три не равно шести.
Гамма. А может быть, здесь нужен перевернутый знак, 2+3 б? Ведь мы сначала посчитали, что два плюс три — пять, а потом сравнили 5 и 6. Они не равны, это разные числа, и мы ставим знак неравенства, но, по-моему, нужно поставить перевернутый, так как нам сначала пришлось получить результат, пять, а только потом сравнить.
Звонок
_____________________________
30 Ср.: «Литературный обычай передавать словами числа, меньшие 10, оказывается в математике часто весьма неудобным (хотя здесь можно проводить тонкие различия)». — Литлвуд Дж. Указ. соч. с. 40. Каппа настаивает на удобстве; Ламбда, Альфа и Эта пытаются проводить тонкие различия.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии