Учитель. Эта в конце прошлого урока предложил понимание сложения, отличное от того, что у нас было раньше. Он предложил считать, что когда мы складываем, мы не просто прибавляем к одному числу другое и пишем, что получится, но еще что-то делаем с этими числами, как-то их по-новому устраиваем, получаем из двух — одно.
Эта. Да, и это одно новое число устроено не так, как два, из которых мы его получили. Оно имеет новую форму. Например, когда мы пишем 2+2=4, то этого не видно. Не видно, что четверка, которая получилась, — новое число. А когда пишем так:
, то сразу видно, что мы из двух чисел образовали одно, одну четверку. Складывание — это не просто прибавление, это еще образование новой формы.
Ламбда. Да, и знак равенства в первой записи, 2+2=4, и во второй, которую Эта нарисовал, означает разные вещи. В первом случае он означает просто «равно» или «одинаково». А во втором — что мы что-то делаем и что-то новое получается.
Учитель. Давайте попробуем написать или изобразить двумя разными способами несколько примеров, которые мы уже решали. Например, два и один.
Гамма. 2+1=3 — это первый способ, мы просто прибавляем и считаем, сколько получится. А второй... можно так: ••+•=•••.
Эта. Нет, неправильно. Так мы просто приложили к двум точкам еще одну. А надо еще сделать тройку, что бы видно было, что это не просто два и один, а одна тройка. Например, так: .
Учитель. Три плюс два.
Эта. Прибавление запишем так: 3+2=5. А складывание так: .
Учитель. Четыре плюс один.
Дельта. 4+1=5. А второе, складывание, так: .
Каппа. А мне все-таки непонятно. Когда мы пишем 2+3=5, тут все ясно. Ясно, что это правильно. Никто не скажет, что два плюс три будет не пять, а шесть. А когда мы рисуем эти фигурные оформленные числа, то много неясностей. Я, например, нарисую пять не так, как Эта, а так: . Это ведь тоже пять?
Эта. Это тоже пять, но это не пятерка. Настоящая пятерка — она правильная, красивая. Она, конечно, такая: .
Бета. Эта, а нарисуй, пожалуйста, настоящую, или красивую, семерку.
Эта. Может быть, так:
Нет, так некрасиво. Наверное, семерка такая:
Бета. А девятка?
Эта. Девятка? Девятка такая:
Гамма. А может быть, такая:
Эта. Да, пожалуй, так лучше. Красивее. Даже не красивее, а устойчивее, что ли.
Бета. Непонятно все-таки. Одному кажется что так красивее, другому — что по-другому. А когда мы имеем дело с числами, все должно быть точно. Эта, а как выглядит, по-твоему, тринадцать?
Эта. Тринадцать? Наверное, так: .
Дельта. Разве это тринадцать? Это две пятерки и тройка. Мы же не сделали целого, отдельного, красивого числа тринадцать.
Эта. Да, не получилось.
Дельта. Я считаю, что форму имеют только маленькие числа. А большие — они не имеют формы. Хотя они тоже числа, мы можем их складывать. Например, тринадцать плюс два будет пятнадцать.
Учитель. Запиши это, пожалуйста. Помнишь, мы записывали числа, не очень большие, но довольно большие, как тринадцать, пятнадцать.
Дельта. Попробую. Тринадцать — это десять и три, значит, записываем в первой клеточке один десяток и во второй три единицы. Два — это просто две единицы, первая клеточка пустая. Теперь записываем пример.
Эта. Вот видите, даже когда мы просто записываем числа, мы должны с ними что-то делать, как-то менять их. Какую-то форму придавать. Смотрите, что Дельта говорит. Чтобы записать тринадцать, мы должны из тринадцати сделать десять и три, наоборот. Раньше мы складывали, из двух чисел делали одно, а сейчас, когда записываем, из одного числа делаем два27. Можно это так обозначить:
Мы из тринадцати, чтобы записать это число, сделали десять и три.
Бета. Получается, что когда мы записываем число, мы тоже что-то с ним делаем? Не просто обозначаем то число, которое у нас есть, но делаем с ним что-то, как-то меняем его?28
Альфа. Да, получается, что записывая мы уже что-то с ними делаем.
Эта. И что делаем? Именно то, что я говорил: придаем им какую-то форму. Мы договорились так записывать, десятками, значит, чтобы записать число, мы его устраиваем десятками.
Альфа. Почему же мы только сейчас заметили это?
Дельта. Наверное, потому, что мы раньше работали только с маленькими числами, меньше десятка. А они так просто записываются, как бы сами по себе.
Гамма. И посмотрите, в той записи, которую Эта сделал, очень легко прибавлять. Сразу видно, что десяток тот же самый, он остается на месте. А к тройке прибавляется два, и она превращается в пятерку. Вот я обведу сейчас десяток, он остался тот же самый. А тройка стала пятеркой. Получилось пятнадцать, десяток и пять.
Каппа. Ну, это и без всякого рисунка видно, из самой записи:
Вот я записываю: в первом квадратике десяток, во втором три единицы. Прибавляем две единицы. Единицы прибавляем к единицам. Не к десятку же единицы прибавлять. К трем прибавим две, будет пять. А десяток так и остался один. Получится пятнадцать. И без всяких рисунков легко.
Учитель. А вот давайте решим такой пример. Пять плюс пять.
Каппа. Пять плюс пять будет десять. А записывать
надо так:
Пять — это пять единиц, десятков здесь нет. А пять и пять — десять единиц, и теперь, чтобы записать, мы должны из этих десяти единиц сделать десяток. Действительно, из записи не видно, что десять единиц — один десяток.
Эта. А если мы нарисуем, то видно. Две пятерки — один десяток, такой, как мы рисовали в прошлом примере.
+ =
Учитель. А попробуй нарисовать и записать такой пример: девять плюс два.
Эта. Девять плюс два. Рисуем девятку. Если рисовать так, как Гамма рисовал, квадратиком, то получится так:
Да, такой рисунок не помогает, все равно надо по единицам пересчитывать.
Дельта. А если нарисовать пятерками, вот так:
Как будто девятка устроена из пятерки и четверки. Тогда сразу видно, что до целой десятки еще не хватает одной единицы. Эта единица, одна из двойки, дополнит ее до десятка, и еще одна останется.
Сразу видно, что будет десяток и еще одна единица, то есть одиннадцать29.
Учитель. Значит, числа устроенные, оформленные, о которых Эта говорил, иногда помогают нам считать. Действительно, так сразу видно, что получается десяток и еще один, не надо по единицам пересчитывать.
Каппа. Все равно эти фигурки, которые изображают числа, они все-таки какие-то странные. Ну, ясно ведь, что девять — это девять. Это больше восьми, девять и один — это десять. Это понятно. А рисовать девять — это непонятно как. Один нарисует квадратиком, вот так: , другой — так, как мы сейчас рисовали: .
Каждый видит по-своему, как устроено это число. А просто числа, они для всех одинаковые. Поэтому я не совсем понимаю, что значит, что когда мы складываем, то не просто прибавляем, а устраиваем новое число. По-моему, если мы пишем, например, что пять и три — восемь, я записываю цифрами, без всяких рисунков, то это и значит только то, что пять и три — столько же, сколько восемь.
Просто столько же, равно. А то, что говорил Ламбда, что тут есть еще другой смысл, что мы что-то делаем из этих чисел, это как-то... не совсем мне это
ясно.
Гамма. Каппа, посмотри на эти две записи:
Пять плюс три равно восьми. Я просто пишу цифрами, как ты, не рисую ничего. И вторая запись: восемь равно восьми. Это правильные записи, ведь и пять плюс три равно восьми, и восемь равно восьми. В обоих случаях ведь равно, столько же?
Каппа. Да, восемь равно восьми. И пять плюс три равно восьми. И то и другое правильно. Потому что и в том и в другом примере мы записали равные числа.
Гамма. А почему записи разные?
Каппа. Потому, что в первом примере мы сначала посчитали, что пять плюс три — восемь, а во втором сразу записали, что восемь — это столько же, сколько... восемь.
Гамма. А не кажется ли тебе, что знак равно, = , в этих двух примерах имеет разный смысл? В первом примере это значит, что мы посчитали и установили, что пять плюс три — восемь. Выполнили действие. И знак = означает, что мы считали и получили новое число. А во втором примере мы просто пишем, что восемь и восемь — это то же самое. Мы здесь ничего нового не получаем. Сразу ясно, что восемь равно самому себе. А в первом примере мы должны получить результат, как Эта говорил, из двух чисел сделать одно. И знаком равенства мы это обозначаем. Здесь справа и слева от знака равенства стоят разные вещи, хотя и равные. Равные, но не одинаковые, не одно и то же*23.
Каппа. Да, кажется, ты прав, Гамма. Действительно, знак равенства в этих двух примерах означает разные вещи.
Звонок
____________________
27 См. обсуждение на уроке 6.
28 Ср.: «Нумерация нередко рассматривалась как первое арифметическое действие, цель которого — научить изображать и называть числа. "Как знаками изображенное число надлежит выговаривать, — писал Л. Эйлер, — и как всякое число знаками изображать, называется счислением и считается обыкновенно за первое арифметическое действие"». — Молодший В. Н. Указ. соч., с. 55.
29 Здесь использован опыт С. Ю. Курганова по формированию навыков счета с опорой на фигурные числа. См.: Курганов С. Ю. Человек культуры (в печати).
*23 Маша Квашенко, 2 класс.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии