Учитель. Мы опять вернулись к вопросу, который у нас уже не раз возникал. Можем ли мы просто считать или мы всегда считаем что-то?
Альфа. Да, всегда считаем что-то и каким-то предметом. И всегда должны сначала договориться, чем мы считаем, а то получится, как на прошлом уроке, что два равно восьми. Это, конечно, неправильно. А получилось так потому, что мы в одном случае считали точки, а в другом — квадраты.
Бета. Мы, значит, считаем каким-то предметом, заранее договариваемся, каким. И этот предмет, как сказал Гамма, мы превращаем в единицу. И сколько таких предметов, сколько единиц получается при счете, это и называется числом. Например, мы считаем, сколько здесь квадратов.
Квадрат — это наша единица. Сколько получится таких квадратов, мы называем числом. Число — два. А когда мы говорим: два квадрата, мы указываем, какими единицами считали. Значит, число — просто два, а не два квадрата 23. И записываем так:
Каппа. Тогда получается, что сама единица — это не число.
Бета. Да, получается, что не число 24.
Каппа. И все-таки я не могу согласиться с тем, что единица — не число. Мы можем ее считать. Не только ею, единицей, считать, но и ее считать: складывать, отнимать. Мы можем писать не только 2+2=4, но и 1+1=2. Здесь единица ведет себя так же, как другие числа. Один — это число.
Дельта. И все-таки один — это не такое число, как другие. Гамма правильно сказал: мы сначала делаем эту единицу, а потом ею считаем. Она до других чисел *22. Мы ею считаем и получаем другие числа.
Каппа. А что такое единица в примере, который я написал: 1+1=2? Это число или нет?
Альфа. В таком примере, кажется, число. Она действительно ведет себя так же, как и другие числа. Ее можно прибавлять, сравнивать с другими числами:
1≠2.
Учитель. Давайте попробуем посчитать, например, точки. Наш предмет, наша единица, которой мы считаем, будет точка. Мы ею будем считать. И нарисуем ее в кружочке, как Альфа предложил. Это наша единица, которой мы считаем. Теперь посчитайте, сколько здесь точек: • • • • ?
Дельта. Здесь четыре точки.
Учитель. Запиши, пожалуйста. Как это можно записать?
Дельта. Четыре точки. 4. Точка в кружке обозначает единицу, которой мы считаем, цифра 4 обозначает число, сколько таких единиц получилось.
Учитель. Правильно. А здесь сколько точек:
• • • • • ?
Эта. Пять точек. Я записываю так: 5. Точка в кружке — та же самая единица, а цифра 5 означает, что пять таких единиц получилось.
Учитель. А здесь сколько точек: •••••••• ?
Альфа. Здесь восемь точек. Записываю: 8. Восемь — число, в кружке — точка, это наша единица.
Учитель. А здесь: • ?
Гамма. Здесь одна точка. Записываю так: 1.
Бета. Да, да, правильно! Наконец-то все стало на свои места. Смотрите, что Гамма написал: цифра — 1, а в кружке — точка. Точка, которая в кружке, обозначает, что мы считаем точками, это наша единица. Цифра 1 обозначает, что получилась одна такая единица. Это число — один. Значит, один — это тоже число! Я все время так думал и пытался понять, как же это так. Теперь понял. Мы сначала договариваемся, чем будем считать. Это единица. Но это еще не число. Мы поэтому эту единицу и рисуем в кружке. А потом мы считаем. И получаются числа. И среди этих чисел может получиться и один тоже. Это тоже число, но не та единица, которой мы считаем. Та — не число. А когда получается один при счете, это число. Значит, правильно говорил Ламбда. Есть единица и один, четверка и четыре, ну и так далее 25.
Учитель. Каппа, ты согласен с Бетой? Ты все время говорил, что единица, или один, так, наверное, действительно правильнее, такое же число, как и другие числа.
Каппа. Нет, я говорил не то, что сказал сейчас Бета. Я говорил, что один — такое же число потому, что с ним можно делать такие же действия, как и с другими числами. А Бета сейчас сказал, что один потому число, что оно так же, как и другие числа, может получиться от счета. Но я согласен с тем, что та единица, которой мы считаем, которую рисуем в кружке, — это не число.
Гамма. А я, когда говорил, что единица — число, имел в виду другое. Я имел в виду, что из нее все числа получаются. Они как бы в ней уже есть. Как только мы сказали: один, то как бы уже все числа придумали. А потом мы их только называем. На самом деле они уже все есть в единице.
Альфа. Да. Это можно так объяснить. Как только мы задали эту единицу, договорились, чем мы будем считать, нарисовали ее в кружке, то уже сразу как бы определили, сколько должно получиться, какое число.
Эта. Как это? Поясни, пожалуйста.
Альфа. Ну, мы, например, считаем, сколько здесь точек: • • • . И нарисовали точку в кружке, значит, именно точки считаем, а не что-нибудь другое. 3. И как только мы нарисовали эту единицу в кружке, мы сразу определили, что получится три. Даже до того, как посчитали. Мы еще не знаем, что три должно получиться, но это уже определено. Если я напишу два, 2, вы сразу скажете, что это неправильно.
Дельта. Даже и считать не надо, сразу видно, что три.
Учитель. Альфа, кажется, не то имел в виду, что считать не надо, что сразу видно. Если я нарисую много точек, например столько: •••••••••••••, и в кружке обозначу нашу единицу, чем мы считаем: . Мы здесь с одного взгляда не можем видеть, сколько точек. Мы должны посчитать.
Дельта. 12.
Альфа. Нет, тринадцать, 13.
Дельта. Да, тринадцать, я ошибся.
Учитель. Вот видите, сразу не видно, сколько точек. Но все равно, как только мы задали единицу, ту, которой считаем, мы уже определили, сколько должно получиться. Вот, например, считаем точки. Я рисую несколько точек: •••••• и обозначаю единицу: . Мы считаем точки. Сколько здесь получится таких единиц, какое число?
Бета. Шесть. Шесть точек, 6.
Учитель. А если я под этими же точками нарисую другую единицу, такую, например, ?
Дельта. Это не единица, это две точки. Вы нарисовали две точки.
Учитель. Да, но я нарисовал их в кружке. Я нарисовал то, чем мы будем считать, такую единицу. Сколько таких единиц?
Дельта. Три, .
Учитель. Значит, как только мы задали единицу, то, чем будем считать, мы уже определили, сколько должно получиться. Если бы мы те же точки считали другой единицей, такой: , то получилось бы не три, а шесть таких единиц. Альфа, ты это имел в виду?
Альфа. Да, это.
Эта. А я хочу вернуться к тому, как мы записывали равенства, когда считали. Помните, мы считали и записывали: 2+2=4. Так вот, для моих чисел, устроенных, имеющих форму, ясно, что тут знак = означает не просто равно, одинаково, а означает, как говорил Ламбда, что мы что-то делаем, получаем из двух двоек — четверку. А для чисел, не имеющих формы, это не ясно. Например, мы рисуем четыре точки: • • • • . Непонятно, сразу мы их нарисовали или рисовали так — сначала две точки нарисовали: • • , потом еще пририсовали две. Или сначала нарисовали три, потом еще одну. Это все равно, одинаково. А для чисел, имеющих форму, устроенных, это не все равно. Мы можем этот пример так записать или нарисовать: . Тут видно, что мы не только подсчитываем, а делаем, получаем новое число — четверку, которая устроена совсем не так, как две двойки. У нее своя форма, как у каждого числа. И тут ясно, что знак = означает не просто равно, одинаково, а означает, что мы что-то делаем с числами. Мы из двух чисел делаем одно. Складываем два числа, чтобы получилось одно число — новое, которого раньше не было. Например, как мы складываем пирамидку из колечек. Мы не просто кладем их рядом, а именно складываем, чтобы получилась из нескольких вещей одна. Это и означает знак =, он означает действие 26.
Ламбда. Да, в слове «складывать» слышно: сделать складным, ладным, устроить. Как Эта говорит, сделать что-то одно, новое. А в слове «прибавлять» этого не слышно. Про то, что мы делали раньше, когда писали примеры типа 2+2=4, лучше говорить «прибавлять». А про то, что сейчас сказал Эта, лучше говорить «складывать».
Звонок
_________________________
23 Ср.: «Число есть отношение одной величины к другой того же рода, принятой за единицу». — Ньютон И. Всеобщая арифметика. 1948, с. 8. — Цит. по кн.: Молодший В. Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века. М., 1963, с. 34.
24 См.: прим. к с. 26. Определение числа как множества единиц у Евклида исключает понимание единицы как числа. Единица у Евклида — основание, причина числа, но сама не является числом.
*22 Катя Квашенко, 1 класс.
25 Ср.: (при ньютоновском понятии числа) «единица становилась полноправным числом: измеряемая величина могла оказаться равной единице меры». — Молодший В. Н. Указ. соч., с. 35.
26 Другие понимания смысла знака = будут обсуждаться на уроках 11 – 13. См. также примечание к с. 89.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии