Учитель. У нас на прошлом уроке возникло два важных вопроса. Первый поднял Каппа: все-таки есть ли просто число, не четыре стула, или четыре точки, или четыре чего-нибудь, а просто четыре? Каппа считает, что есть. Что кроме тех чисел, которые появляются, когда мы считаем предметы, есть еще просто числа. Так, Каппа?
Каппа. Да. Именно такие числа мы можем иметь в виду, когда пишем цифры 1, 2, 3, 4. Мы просто числа обозначаем цифрами, а когда хотим обозначить, сколько предметов, мы должны кроме цифр еще указывать предметы, которые считаем. Мы для этого научились записывать цифры, чтобы иметь дело просто с числами. Если бы мы хотели заниматься предметами, мы могли бы рисовать эти предметы. Или писать словами: стул, чашка. А для того чтобы заниматься числами, нам и нужны цифры, чтобы числа записывать.
Учитель. И второй вопрос, который поставили Бета и Гамма. Чем же мы считаем? Считаем ли предметами — стулья стулом, точки точкой и так далее — или же считаем числом, единицей? Делаем каждый раз единицу, для каждого случая свою, и ею считаем.
Бета. Этот вопрос как-то связан с вопросом Каппы. Почему мы говорим и про один стул, и про одну чашку, и про одну точку, что это единица? Почему мы можем превращать разные предметы в единицы? Что, это получается просто один, неважно чего? Просто число, о котором говорит Каппа?
Дельта. Как же это может быть? Мы ведь выяснили, что просто числом нельзя считать. В зависимости от того, что мы считаем, будет получаться разный результат. Если считаем стулья, получится два стула, если считаем ножки, получится восемь ножек.
Альфа. Значит, мы не можем говорить просто о числах. А только о предметах, которые считаем.
Каппа. Нет, можем. Вы все время говорите «считать», имея в виду «пересчитывать какие-то предметы». А ведь можно просто считать, никаких предметов не имея в виду*20.
Дельта. Как это — просто считать, без всяких предметов? Что это значит?
Каппа. А вот посчитай, пожалуйста, сколько будет два и два.
Дельта. Четыре, конечно.
Каппа. Вот это и значит — считать. Ты ведь никаких предметов не имел в виду, когда посчитал, что два и два — четыре? И кстати, мы научились записывать числа цифрами, а записывать само действие счета не научились. А счет — это не когда мы пересчитываем предметы, а когда складываем и отнимаем числа. Я продолжаю думать, что число — это и есть то, что складывается и отнимается.
Учитель. Давайте научимся записывать, как мы складываем и отнимаем числа. Когда складываем числа, мы пишем оба числа, которые складываем, а между ними ставим такой знак: +. Он называется «плюс» и обозначает сложение. Например, два и два мы запишем так: 2+2. Это значит: два и два, или к двум прибавить два.
Дельта. Получится четыре.
Учитель. А это записывается так. Ставится знак =, он означает «равняется» или «получится», и после него пишется, что у нас получилось. 2+2=4. Те числа, которые мы складываем, называются слагаемыми. То, которое получается в результате сложения, — суммой. В этом примере два и два — слагаемые, они одинаковые; четыре — сумма.
Каппа. Вот это записан счет, записано действие с числами. Именно с числами, а не каким-то количеством предметов. Мы можем много таких записей сделать: 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 3+2=5. Теперь мы считаем и можем это записывать.
Учитель. Пожалуйста, посчитайте, сколько будет четыре и два, и запишите это.
Альфа. 4+2=6.
Ламбда. Теперь мы умеем записывать, как мы считаем просто числа, без предметов. Но я вот что заметил: когда вы объясняли нам, что значит этот знак =, вы сказали, что он значит «равняется» или «получится». А ведь это разные вещи. Равняется, равно — это значит просто одинаково. А получится — это значит, что мы что-то сделали с числами и получили новое число. Вот как Гамма говорил, помните, что все числа получаются из единицы. Вот так они и получаются.
Гамма. Да, так можно записать, как получаются все числа. Получаются из одного числа, из единицы. Я это и говорил, просто раньше не знал, как это записать. А теперь мы можем это записать: 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5, 5+1=6 и так далее. Все числа так можно получить, из единицы. А единица — первое, самое главное число, из нее все получается*21.
Ламбда. А когда мы говорим «равняется», мы ничего не получаем, мы просто говорим, что это одинаково, то же самое.
Учитель. Да, у этого знака как бы два смысла. Равняется — значит одинаково, то же самое. Мы пишем: 2=2. Значит, число два равно самому себе, значит, с двух сторон от знака = записаны одинаковые числа. Или мы можем записать, что 2≠3, это будет значить, что два и три — разные числа, они не равны между собой.
Поставьте, пожалуйста, знаки = или ≠ между следующими числами: 2 и 2, 6 и 5, 1 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 3 и 4.
Бета. Это легко: 2=2, 6≠5, 1≠3, 4=4, 5=5, 3≠4. Когда числа одинаковые, они равны, мы ставим знак =, когда числа разные, они не равны, ставим знак ≠.
Каппа. Значит, с числами, просто числами, о которых я все время говорю, еще вот что можно делать: сравнивать. Не только складывать и отнимать, но и сравнивать, узнавать, одинаковые они или разные. Ведь это можно делать просто с числами, без всяких предметов: два всегда равно двум и никогда не равно четырем, какие бы предметы мы ни считали.
Дельта. Нет, без предметов нельзя. Два стула не равны двум чашкам. И, помнишь, мы считали точки, расположенные квадратами. Там получалось, что два квадрата равны восьми точкам. 
Дети (хором). Нет, нет, так неправильно.
Дельта. Почему? Мы ведь посчитали то же самое. Мы считали, сколько здесь, на этом рисунке, на том же самом рисунке. Сначала посчитали, сколько квадратов, а потом — сколько точек. Но раз мы посчитали один и тот же рисунок, то получиться должно было одинаково.
Бета. Когда мы говорили про это, вроде все было правильно. Но когда Дельта записал, сразу стало видно, что тут что-то не так. Два, конечно, не равно восьми. 2≠8, это совершенно ясно.
Альфа. Все-таки Каппа не прав, говоря, что мы можем просто числа считать и сравнивать. Сейчас это стало ясно. Мы должны обязательно указать, что считаем. Например, обозначить эту нашу единицу, о которой Гамма говорит, которой мы считаем. Она будет разная в каждом случае. В первом случае, когда мы считаем квадратами, выясняем, сколько квадратов, получится не просто два, а два квадрата. Это можно так обозначить:
А во втором случае, когда мы считаем точки, получится восемь точек. Обозначим это так:
И раз мы считали одно и то же, то должно получиться одно и то же, значит, мы записываем так:
Два квадрата равны восьми точкам.
Звонок
__________________
*20 Петя Филатов, 2 класс.
*21 Катя Квашенко, 1 класс.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии