В поисках возможного ответа на вопросы, поставленные выше, обратимся к известной реконструкции происхождения теоретического понятия числа, произведенного В.В. Давыдовым в 60-е годы [Давыдов, 1962]. Эта реконструкция легла в основу программы Развивающего обучения математике [Давыдов, 1986].
С точки зрения В.В. Давыдова, исходной ситуацией, порождающей теоретическое понятие числа, является ситуация воспроизведения величины, равной данной, в другом месте, в другое время и другим субъектом. Совместно-распределенная деятельность воспроизведения величин строится следующим образом. У измерителя имеется величина А и мерка е - эталон данной величины. У отмеривателя имеется такая же мерка е и материал, позволяющий воспроизводить любые величины. Задача состоит в том, чтобы научиться такому общему способу работы с величинами, который позволяет любому отмеривателю, расположенному в любом месте (в Париже или на Луне), в любое время (через час или через столетие) абсолютно точно воспроизвести ту величину, которая имеется у измерителя. При этом предполагается, что стандартная мера - эталон е уже имеется у всех измерителей и всех отмеривателей и поэтому переносить сам материал (величину А) запрещается.
Общий способ решения задачи состоит в следующем. Измеритель, как бы предвосхищая действия отмеривателя, создает динамическую модель отмеривания. Измеритель рассуждает так. Допустим, я отмериватель. У меня есть мерка е и материал, Мне нужно получить от измерителя «письмо», в котором мне будет рассказано, какие действия нужно произвести с меркой е, чтобы получить величину А. Совокупность (последовательность) действий, позволяющих отмеривателю с помощью стандартной меры е получить величину, равную данной, и есть число как теоретическое понятие. И это именно всеобщее содержательно-теоретическое понимание числа, его «клеточка». Любое число (натуральное, многоразрядное, дробное, положительное и отрицательное, иррациональное, комплексное) должно возникать на основе конкретизации этой «клеточки».
Проследим, однако, может ли вырасти из этой «клеточки» понятие натурального числа.
Измеритель, как бы имитируя будущие действия отмеривателя, строит величину А повторением стандартной меры е. Эта процедура называется измерением. Смысл измерения состоит в том, чтобы еще раз породить величину А, но с помощью повторения меры е. Каждое откладывание меры фиксируется специальным знаком - меткой (кубиком или фишкой). Метка - это единица, один. Если метка одна, то это значит, что величина равна мере. Совокупность меток - единиц есть натуральное число. Можно сказать, что натуральное число показывает, сколько мерок находится в данной величине. Говорят поэтому, что натуральное число есть отношение величины к мере. Споря с П.Я. Гальпериным и Л.С. Георгиевым [Гальперин и Георгиев, 1961], В.В. Давыдов специально подчеркивает, что единица - это не часть величины, уравненной с мерой, не «кусок» объекта, не вещь среди вещей. Единица - это идеальное (в смысле Э.В. Ильенкова), т.е. способ развертывания деятельности (отмеривания), представленный как особая вещь - символ (метка). Вне целостного акта деятельности воспроизведения величин метка - единица никакого смысла не имеет. Поэтому единицу нельзя понимать как отдельный объект, а число - как совокупность отдельных объектов, «отдельностей».
Измерив величину, измеритель составляет «письмо для отмеривателя», в котором указывает название величины А, название меры е и количество меток. Такое письмо и есть натуральное число: А/е = ооо. Имея меру е и идеальный объект - натуральное число, отмериватель воспроизводит величину, равную данной. Можно сказать, что с помощью числа осуществляется акт коммуникации измерителя и отмеривателя.
На следующем шаге можно задаться вопросом: а возможно ли решить исходную задачу в том случае, когда величина намного больше меры? Иными словами, можно ли научиться строить и задавать (с помощью натуральных чисел) такие преобразования меры (например, укрупнение), которые позволят точно воспроизводить любые величины? Можно ли с помощью комплекса натуральных чисел и каких-либо новых знаков научиться абсолютно точно воспроизводить очень большие и очень маленькие величины? Можно ли так воспроизводить направленные величины? А величины, несоизмеримые со стандартной мерой? А переменные величины? А направленные величины, расположенные на плоскости? Очень многие (ранее понимаемые как разрозненные) математические объекты (арифметические, геометрические, алгебраические, топологические) могут быть «втянуты» в воронку теоретического понятия числа и вновь порождаться как необходимые грани развивающегося от абстрактного к конкретному единого понятия. Построение (с первого по одиннадцатый класс) курса математики как единого развивающегося понятия было мечтой В.В. Давыдова [Давыдов, 1972]. В какой мере современные учебники Развивающего обучения математике реализуют логический идеал В.В. Давыдова - это вопрос, требующий особого обсуждения.
Многолетние (с 1972 г.) наблюдения уроков Развивающего обучения в начальной и подростковой школе, участие в построении программы Развивающего обучения математике убеждают, что детям интересно играть в измерителей - почтальонов - отмеривателей, задумываясь над проблемами порождения разных граней единого понятия действительного (и комплексного) числа [Боданский, Курганов, Фещенко, 1977]. Работа с теоретическим понятием числа позволяет выстроить содержательные учебные дискуссии младших школьников и подростков, в ходе которых формируется умение самостоятельно ставить учебные задачи, понимать партнеров, совместно разрешать противоречия измерения - отмеривания. Психологические особенности таких дискуссий глубоко исследованы (правда, на лингвистическим материале) Г.А. Цукерман [Цукерман, 1993].
Однако внимательно всмотримся в процесс формирования теоретического понятия натурального числа, который реконструировал В.В. Давыдов. Каким образом решение задачи измерения - отмеривания величин порождает понятие натурального числа? Когда ребенок - первоклассник, втягиваясь в ситуацию коллективной игры в измерение - пересылку - отмеривание, научается воспроизводить величины с помощью меток, он действительно овладевает понятием числа. Число начинает пониматься как способ решения новой и интересной задачи. Но порождается ли в этой деятельности теоретическое понятие натурального числа, с которым дети будут работать в течение трех лет начального обучения? И - вообще, можно ли овладеть понятием натурального числа в ходе осуществления предметной деятельности измерения- отмеривания?
Думается, нет. Ни деятельность измерения - отмеривания величин, ни учебная дискуссия, в которой обсуждаются вопросы успешности осуществления измерения-отмеривания (т. е. особенности понятия как общего способа действия) не приводят к порождению теоретического понятия натурального числа. Для того, чтобы успешно измерить величину мерой, нужно заранее владеть представлением о натуральном числе как о некотором повторяющемся ритме, как о чередовании метки и пустоты, единицы и нуля, удара и тишины. Чтобы измерять, нужно заранее уметь действовать с метками, т.е. с одинаковыми отельными вещами - единицами. Опыт работы с единицами - метками, обозначающими ритм счета, формируется в дошкольном возрасте. Именно этот опыт лежит в основе того понимания натурального числа, которое позволяет первокласснику успешно осуществлять измерение.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии