Только теперь математик может поставить перед собой и перед слушателями следующую задачу. Зададим определенное значение скалярной величины и назовем ее мерой е. Мы знаем, что любое значение математической величины а может быть получено непрерывным порождением из точки (ползающим, а не шагающим движением) с последующим замораживанием. Нужно ответить на вопрос: возможно ли научиться получать любое значение математической величины иначе, а именно путем откладывания меры е или ее долей?
Можно предположить, что эта задача имеет решение. В качестве решения и выступает действительное число, которое возникает как теоретическое математическое понятие. Действительное число образуется в ходе решения определенной задачи. Эта задача для своего решения предполагает разворачивание длительного математического эксперимента - преобразования созданной математиком предметной действительности (особой протяженности), обнаружения ее оснований - особенно в ситуации несоизмеримости величины с мерой. Поэтому действительное число возможно как содержательно - теоретическое понятие. Вместе с тем, оно возникает как априорно - математическое понятие, так как исходная задача и предметно - преобразующее действие производится в особом «математическом заповеднике», в воображаемом, идеальном (единственном, уникальном) пространстве, априорно введенном математиком. Предметное действие здесь является мысленным экспериментом.
Теперь, кажется, все готово для построения «заповедника», в котором сможет жить теоретическое понятие натурального числа. Как мы уже знаем, В.В. Давыдову построить такой заповедник не удалось, и что таится за теоретическим понятием натурального числа, осталось загадкой. Попытаемся эту загадку отгадать.
Мы вместе с математиком и пятиклассниками, которые слушают его лекции и посещают его семинары, задумались над проблемой: можно ли любое значение скалярной математической величины выразить через одно из значений, принимаемых в качестве меры? Или - по другому - существует ли в мире значений скалярной величины мера? Являются ли значения величины некими уникальными «монадами», или они есть продукт отмеривания: качественным своеобразием обладает лишь мера, эталон математической протяженности, как только она получено - остальное «дело техники» дело промышленного производства любого значения величины.
Размышления В.В. Давыдова о воспроизведении величин сдвигаются в плоскость обсуждения возможностей измерения как идеального математического экспериментального действия. Ведь пока не изобретены натуральные числа, дроби и иррациональные числа (т.е. конкретные математические понятия), ответ на вопрос о возможности измерения как познавательного математического действия, открывающего нам новые числовые миры) остается открытым.
Итак - к делу. В каждом замороженном значении величины е сокрыто движение от абсолютного нуля до е, от А до В (АВ=е). Выкладывая меру е, мы получаем возможность бесконечно быстрого перехода от А к В, так как концы математического отрезка А и В касаются математической поверхности (плоскости, на которой производится откладывание) одновременно. Очень многие величины можно легко строить, образуя суммы типа АД=е+е+е. Непрерывное «ползание» от А до Д заменяется сложением. Для понимания сложения приходится выстраивать особый «заповедник», где порождается и живет идея целого, части, суммы. Понятие сложения величин глубоко обсуждается в работах Г.Г. Микулиной [Микулина, 1969].
Но чем отличается сложение АД=АК+КД (или АД=а+в) от сложения: АД=е+е+е? В случае обычного сложения мы имеем образцы величин, меньших данной. Мы образуем из этих частей целое. Движение от А до К закодировано в отрезке АК. Его мы выкладываем сразу весь. Затем следует пауза, остановка, фиксируемая знаком «+». В паузе мы прилаживаем второй отрезок к первому, ориентируясь на определенную геометрическую структуру (Это может быть и отрезок, и ломаная, но не может быть, скажем, «крест»). После паузы мы выкладываем сразу весь отрезок КД, то есть сразу все (мгновенное) образование величины КД (движение ли К до Д).
Уже в сложении различных величин: АД=АК+КД=а+в воспроизведение величины АД приобретает вполне ощутимый ритм. Натуральное число уже имманентно содержится в акте сложения. Можно сказать, что у целого АД есть части: АК и КД, а можно сказать: у целого есть часть и еще часть. Еще очевиднее, если мы предпримем более опосредствованное уравнивание: АД=АК+КМ+МД, или АД=а+в+с. Мы скажем: АД есть часть, и еще часть, и еще часть. Или мы скажем отмеривателю: величина строится (существует) в таком ритме: отложи - прервись, отложи - прервись, отложи - прервись. Для того, чтобы складывать, шагать (а не ползти), необходимо неявно втаскивать в решение задачи воспроизведения величин - идею ритма, то есть представление о чередовании атома и пустоты, действия и остановки, звука и тишины, заполненного и пустоты, наличия вещи и ее отсутствия.
Что это за идея? Применительно к задачам измерения - это идея времени. Разные значения величины, с помощью которых мы ее воспроизводим - это разные скорости воспроизведения. Сравнивая части вытянутой из точки величины, то есть сравнивая величину внутри себя самой, мы выполняем сравнение пространственных и интервалов, работаем с чистым пространством. Сравнивая замороженные отдельные (отделенные от своей порождающей основы - идеи непрерывного, никогда не рвущегося движения - движения вне всякого ритма, движения - покоя: мы можем вытянуть величину любой длины, в нашем воображении есть сразу вся бесконечная длина, то есть покой) значения величины друг с другом (а больше в), мы сравниваем различные скорости измерения.
Для того, чтобы свободно переключать эти скорости, а затем выстроить специальную «коробку передач» (умножение, многоразрядное число, дроби) необходимо научиться складывать одинаковые мерки, то есть воспроизводить величинны с постоянной скоростью, равномерно (и прямолинейно). То, что кинематика Ньютона (идея равномерного прямолинейного движения) столь тесно связана с ньютоновской идеей числа, с решением задач «на движение», прошло мимо внимания В.В. Давыдова. Вместе с тем, В.В. Давыдов соединял порождение числа с идеей движения: «Когда человек оперирует со словом, о он действует не в идеальном, а лишь в словесном плане. Это обстоятельство было продемонстрировано нами на материале экспериментального исследования, направленного на изучение закономерностей формирования математического действия сложения чисел у детей дошкольного возраста. Было показано, что с «идеальным бытием» словесно заданных чисел - слагаемых соотносится особая форма идеального действия сложения, связанная со своеобразным («сквозным») движением руки ребенка вдоль предполагаемого ряда предметов, которые создают требуемое слагаемое.» [Давыдов, 1986 , с. 33].
Переход к равномерному прямолинейному движению - измерению, связан с идеей постоянной скорости измерения и особым ритмом чередования откладывания одной и той же меры е и перерыва между откладываниями. Важен переход от формулы А=е+е+е к формуле А/е=о о о, в которой каждый математик и физик с легкостью обнаружит длину (А), скорость (е) и время (натуральное число).
Еще очевиднее связь натурального числа с идеей времени обнаруживается в классических заданиях В.В. Давыдова, которые он предлагает детям, чтобы убедиться, что у них сформировано понятие числа [Давыдов, 1962]. В.В. Давыдов предлагает изменить мерку и проанализировать, как изменяется число с изменением мерки. Теоретически мыслящий ребенок, во-первых, отказывается характеризовать величину определенным натуральным числом, если ему не дана мерка, и, во-вторых, понимает, что с увеличением мерки число уменьшается и наоборот. Это и понятно: увеличение мерки влечет за собой увеличение скорости измерения: «за раз», «за один темп», за единицу времени (обозначаемую меткой) может быть отложено (пройдено) большее расстояние.
Идея скорости в кинематике Ньютона связана не столько с оформлением интуиции движущегося тела, имеющего определенное количество движения, сколько с отделением скорости от количества движения, что превращает измерение движения - в движение измерения. Измерение Ньютона-Давыдова порождает абсолютное (кантовское) пространство - математическую величину и использует идею абсолютного (вообще говоря, независимого от пространства и актов измерения) время - мерами зажигающееся и мерами угасающее чередование «бытия» и «ничто». Два этих мира - пространство и время - можно рассматривать независимо друг от друга. Аксиомы математической величины в явном виде идеи числа не содержат. Аксиомы Пеано, которые можно трактовать как описание мира чистых ритмов - мира времени как такового - в явном виде не содержат пространственных характеристик. Можно сказать и иначе. Актом измерения, актом встречи пространства со временем, пространство и время впервые порождаются как независимые миры. Именно благодаря своей независимости они могут взаимодействовать, образуя декартово пространство - время: систему координат, в которой одна из осей - временная, а вторая - пространственная.
С другой стороны, вне идеи ритма пространство может описываться лишь топологически. Переход к метрическому пространству, как мы уже видели, неявно эксплуатирует идею ритма. И наоборот, натуральное число как чистое время, как смена единицы и нуля, атома и пустоты, события и его отсутствия, достаточно легко ускользает при исследовании, если его не изображать с помощью пространства, не вписывать в пространство. Так возникают метки - одинаковые протяженные вещи, разделенные пустотой. Метки, в отличие, скажем, от метронома, настраивающего наш слух, способны ритмизировать и наше зрение. Мы можем изобразить и увидеть ритм как протяженность. Вообще, часы - это интересный прибор, который, являясь заповедником для поддержания бытия времени, равно как и заповедником для натурального числа, настраивает наше зрение и наш слух на восприятие и удержание ритма. Заметим также, что изображение события понятия на доске (или на тетрадном листе), к которому всегда стремится учитель, организуя диалог с детьми, можно трактовать как обустроение пространства жизни понятия (в смысле М. Хайдеггера).
В пифагорейской математике число, возможно, рассматривалось и вне идеи времени, как пространственная структура, как прекрасное произведение, как скульптура. Д.Я. Стройк замечает, что пифагорейские фигуры значительно старше пифагорейского числа, так как некоторые из них мы находим в неолитической керамике [Стройк, 1990, с. 57]. Да и само движение мыслилось как покой, как статичное напряжение, как орудие, чреватое возможным движением [Арсеньев, Библер, Кедров, 1967]. Декартова переменная величина разрушила этот мир, возникший как ответ на апории Зенона, и вместе с этим внесла в математику движение и диалектику (Ф. Энгельс). Последствия диалектического понимания математики мы и попытались здесь проанализировать.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии