Деятельностный подход, разворачивающий акты познания и выращивающий понятия - орудия осуществления этих актов, учит нас понимать число как отношение величин. Мы попытались понять «давыдовское» число не только как орудие, но и как проблему. Понять как проблемное, не равное себе, удивительное, парадоксальное орудие. «Давыдовское» число оборачивается «вечными проблемами» бытия пространства и времени, протяженности и ритма. Но эта вечность - особая. Речь идет о вечных проблемам, которые возникают в мире, понятом как предмет научного познания. «Давыдовскую» математику можно развернуть диалогически. Но это все же будет диалог внутри познающего разума. Конечно, учитель математики, идущий к первоклассникам или к пятиклассникам с идеей построения «заповедника», в котором будет жить проблемное, не равное самому себе, внутренне - вопросительное понятие числа как отношения величин, - окажется в более выгодном положении, чем учитель, который полагается только на учебники Развивающего обучения и методические пособия к ним. Но все же, отправляясь к детям, учитель способен сделать еще один шаг - начать разбираться с современным диалогическим понятием и с историей становления понятий. В.В. Давыдову не удалось, даже в снятом виде, включить в нововременное понятие числа античное, средневековое и современное понимания. Как ни проблематизируй практику измерения, не вырвешься из кантовского абсолютного пространства, которое само себя измеряет с помощью чисел - ритмов, живущих где-то вне пространства и, по существу, непознаваемых. Натуральное число остается «вещью в себе».
Наши наблюдения показывают, что только часть учащихся младших и подростковых классов склонна мыслить и представлять математический мир таким, каким его видит и мылит В.В. Давыдов. Другие интуиции детей, которые могли быть культурно проинтерпретированы как близкие к античному, средневековому и современному пониманию математики, не могут подхватываться и включаться в работу учителями Развивающего обучения в силу их ориентации исключительно на нововременное понимание числа. Мало того, даже в рамках этого подхода забываются исходные математические проблемы, загадки и парадоксы (нововременного разума), ради разрешения которых В.В. Давыдов построил свою величинную версию математики. Величинная математика В.В. Давыдова начинает выступать как полностью завершенная, лишенная внутренних парадоксов и трудностей, как то, что написано в учебниках и требует лишь присвоения.
Так, В.В. Давыдов, В.И. Слободчиков и Г.А. Цукерман пишут: «...уникальной попыткой решения вопроса о том, в какой форме ребенку может быть представлено его меняющееся Я (вчерашнее, сегодняшнее, завтрашнее) является опыт С. Ю. Курганова [Курганов, 1989] разработавшего технику порождения и фиксации детских «монстров» (термин И. Лакатоса [Лакатос, 1967]) - промежуточных образов, гипотез, догадок, которые становятся реальным орудием ненормированной мысли ребенка, средством удержания и обнаружения своего индивидуально - неповторимого видения мира. Но своеобразная «майевтика» С. Курганова имеет свое жесткое ограничение: она работает в области «вечных» вопросов, которые заведомо не имеют однозначных, нормативных ответов и возникают на границе известного и не известного никому. Мы же, строя учебную деятельность, говорим о движении ребенка от известного к не известного ему лично, но написанному в учебниках, о том, как ребенок делает фиксированный в учебнике (ничей, анонимный) культурный опыт своим собственным (о-сваивает его)» [Давыдов, Слободчиков, Цукерман, 1992, с. 17].
Не время и не место обсуждать, как выглядит в системе координат выдающихся специалистов Развивающего обучения наши исследования учебного диалога. Для этого нужно развернуть встречную аргументацию и изложить теоретические основы Школы диалога культур [Библер, 1996]. Удивляет другое. Противопоставляя РО и ШДК, учебную дискуссию и учебный диалог, В.В. Давыдов, В.И. Слободчиков и Г.А. Цукерман чрезмерно суживают представление о РО, хотя бы в сравнении с ранними работами В. В. Давыдова [Давыдов, 1972]. С точки зрения В.В. Давыдова, изложенной в классических исследованиях [Давыдов, 1962, 1972, 1986], неверно полагать, что в учебной деятельности ребенок движется к тому, что написано в учебниках. Может быть, такая редукция и произошла при обучении русскому языку, когда вместо многообразия возможного учебного содержания [Панов, 1967; Эльконин, 1960; Жедек, Репкин, 1974; Шулешко, 1964; Айдарова, 1966] и дискуссий об основаниях исходных понятий разработчики перешли к одной ( и единственно верной) концепции В.В. Репкина. Может быть. Но в области преподавания математики ничего похожего, к счастью, не произошло. О каком учебнике идет речь? Если в лингвистике таким учебником, к которому можно редуцировать норму размышлений о родном языке, можно считать книгу М.В. Панова «Русская фонетика» [Панов, 1967], то в математике учебника, в котором излагалась бы давыдовская концепция величины и числа, не существует. В.В. Давыдов создал не учебник под названием «Вот, уважаемые разработчики, как теперь надо понимать число», не новую норму понимания числа. В.В. Давыдов публично размышлял о сущности натурального и действительного числа, искал ту родовую предметную деятельность, которая с необходимостью приводит к теоретическому понятию числа. Ни в каких учебниках «норма» этой деятельности не дана, ибо авторы учебников математики вовсе не озабочены деятельностным построением своего предмета. В.В. Давыдов призывал математиков, физиков, психологов, педагогов начать исследования родовой предметной деятельности воспроизведения величин, которая по гипотезе В.В. Давыдова должна была ввести ребенка и взрослого в мир теоретического понятия числа. Эта работа была начата В.В. Давыдовым и поддерживалась его учениками. Было выстроено несколько учебно-практических ситуаций, деятельностно порождающих разные грани понятия числа: введение умножения, многоразрядного числа, обыкновенной и позиционной дроби, отрицательного и комплексного числа [Давыдов, 1969; Давыдов, Цветкович, 1969; Бархаев, Захарова, 1980; Боданский, Курганов, Фещенко, 1977 и др.]. При этом вскрылись существенные трудности и проблемы, о которых мы частично сказали выше. Даже в начальных классах при построении самых элементарных числовых форм далеко не весь математический материал «упаковывался» в соответствии с логикой восхождения от абстрактного к конкретному. На каждом этапе «сведения - восхождения» возможности существования содержательно-теоретического понятия числа выступает не как норма, а как проблема.
Приведем совсем простой пример «капризности» конкретного математического понятия. Понятие дроби, по исходному замыслу В.В. Давыдова и Ф.Г. Боданского, формируется у учащихся третьих классов. Именно в третьем классе были размещены две принципиальные для развития теоретического мышления детей учебные ситуации: воспроизведение величин, меньших чем стандартная мера, и воспроизведение направленных величин. Обе ситуации радикально изменяли сложившееся у детей понятие натурального числа и позволяли входящим в подростковый кризис учебному сообществу с новых позиций посмотреть на свое ученичество в начальной школе. Способом решения задачи воспроизведения величин, меньших, чем мера, является переход к измерению величин, происходящему в два этапа. На первом этапе стандартная мера изменяется так, чтобы ею было удобно измерять величину. На втором этапе производится измерение величины измененной мерой. Результатом этого предметно-преобразующего действия является новый математический объект - пара натуральных чисел. Первое число «рассказывает» о том, как мы изменяли стандартную меру, а второе число - как применять новую меру. В первом и втором классе подобный способ действия активно использовался для решения задачи воспроизведения величин, много больших меры и приводил к понятиям произведения (умножения) и многоразрядного числа. В третьем классе этот способ нужно конкретизировать. Первое натуральное число (знаменатель) указывает, на сколько равных долей нужно раздробить меру, а второе число (числитель) указывает, сколько раз нужно взять уменьшенную меру.
Мы получаем теоретическое понятие «дроби вообще», исходную клеточку для построения содержательного понятия дроби во всех ее модификациях, вплоть до позиционной систематической дроби - двоичной, десятичной и пр. Но получаем ли мы здесь теоретическое понятие обыкновенной дроби, например, такой, как 1/3? Думается, нет. И вот почему. Для того чтобы третьеклассник образовал понятие обыкновенной дроби, он должен так конкретизировать сложившееся в учебном сообществе умение воспроизводить величины, чтобы научиться делить меру на 3 равные доли, на 5 равных долей и так далее. Это обстоятельство прошло мимо внимания В.В. Давыдова и Ж. Цветковича [Давыдов, Цветкович, 1969], которые активно критиковали «наглядную концепцию дроби», принятую в школьной математике как раз за то, что детям предлагают работать с объектами, уже разделенными на равные доли и называть эти объекты новыми словами. Состав предметного действия, порождающего конкретное, частное, индивидуальное понятие обыкновенной дроби В.В. Давыдов не исследует, как и не исследует состав предметного действия, порождающее конкретное понятие натурального числа. Нормативный ответ на вопрос о том, как разделить отрезок е на нужное количество равных долей, в математических учебниках имеется. Решение этой задачи нашел древнегреческий философ Фалес. Фалес предложил построить угол. На одной стороне этого угла Фалес откладывал тот отрезок, который нужно раздробить, скажем, на 3 равные доли. А на второй стороне угла Фалес откладывал три любых равных отрезка. Соединяя конец последнего отрезка с концом того отрезка, который нужно раздробить, Фалес проводил параллельные прямые, рассекающие наш отрезок на нужное количество частей.
Очевидно, что ни о каком восхождении от абстрактного к конкретному здесь речи нет. Понятия угла, параллельности, подобия «втягиваются» в ситуацию измерения - отмеривания, а не порождаются из нее. Формирование конкретного понятия обыкновенной дроби требует не конкретизации, а коренного преобразования всей предметной основы сложившегося действия. Еще в 70-е годы, работая под руководством В.В. Давыдова и Ф.Г. Боданского [Боданский, Курганов, Фещенко, 1977], мы обратили внимание на то, что каждый новый «узел конкретизации» теоретического понятия числа требует разработки своего «геометрического обеспечения». Для дробей нужны параллельность и подобие, для отрицательных чисел - векторы и центральная симметрия (поворот на 180 градусов - образование вектора, противоположного направленной мере), для комплексных чисел нужно владеть идеями поворота, гомотетии, перпендикулярности. Опять возникает вопрос: а существует ли на самом деле восхождение от абстрактного к конкретному, описанное Э.В. Ильенковым, или это - недостижимый идеал, к которому должно стремиться формирование теоретических понятий, на деле никогда не достигая чистоты и последовательности?
Но что теперь значит теорема Фалеса, когда она втянута в акт измерения-отмеривания величин? Две «оси» - две стороны угла, соотнесенные параллельными прямыми, есть особый прибор, превращающий время в пространство, а пространство - в измеряемую величину. Этот прибор есть теоретическое понятие числовой прямой.
В учебниках РО для первого класса дети работают с эмпирическим понятием числовой прямой. Это - та дорожка, на которой располагаются результаты измерения -- натуральные числа. Использовать эмпирическое понятие числовой прямой для построения дробей не удается: нет способа построения дробей, нет прибора для перехода к дробным мерам. Теоретическое понятие числовой прямой есть способ построения любого целого и дробного числа. Теоретическое понятие числовой прямой есть угол, совокупность двух лучей. Первый луч - это величина, первоначально полученная непрерывным движением точки О. Это - длина или пространственная координата, то что в математике называют осью х. Второй луч - это «ось t», временная ось. Здесь в виде одинаковых пространственных интервалов - отрезков - изображены метки - натуральные числа. В виде бесконечного количества одинаковых отрезков изображен ритм счета, множество меток - «разов». Эти «разы» сосчитываются, так появляются - на временной оси - натуральные числа 1, 2, 3 - временные координаты.
Заметим, что время может выражаться только натуральными числами. Половины, трети, четверти единицы (метки, темпа, отдельности) не существует. Единица, метка, отдельность неделима и представляет собой квант времени: «раз». Временная ось существует вечно, тождественна сама себе и является упорядоченным множеством натуральных чисел - задающих ритм будущего измерения. Измерения еще нет, но временная ось уже есть, Она сама себя измеряет, впрок «тикает», ожидая величину. Пространственные оси «приходят и уходят», превращаясь при встрече со временем в шкалы (температуры, веса и пр.), в линейки. Произвольно проводя первую из будущих параллельных прямых, мы разрезаем пространственную ось и получаем меру е. Число «один» у нас уже было до измерения, а теперь с помощью этого числа (единицы времени) мы задаем скорость, с помощью которой будем отмеривать величину. Проводя остальные параллельные прямые, мы выстраиваем множество натуральных чисел (скоростей) на оси х. Чтобы получить на этой же оси множество рациональных чисел, нужно научиться произвольно замедлять измерение, изменяя угол падения параллельных лучей.
Не очень ясна деятельностная природа этого процесса установления подобия осей. Можно, например, мыслить числа 1, 2, 3... на оси времени как некие «столбики», а параллельные прямые - как тени этих столбиков, возникающие при освещении данного прибора лучами света. Тогда прибор Фалеса превращается в проективное пространство, и мы получаем шанс деятельностного определения проективной геометрии и проективного (а не метрического, как в обычных учебниках) понимания параллельности. Информация о ритме распространяется со скоростью света, а не мгновенно, как при откладывании отрезка. Кроме того, наш прибор очень уж напоминает пространственно-временные диаграммы, на которых обычно иллюстрируют справедливость частной теории относительности. Случайно ли это?
Из-за чего построение столь важной для Г.А. Цукерман нормы научного ползнания оборачивается процессом открытого, незавершенного (и в этом смысле - принципиально ненормируемого) размышления, так и не приводящего ученого к созданию однозначной и устойчивой знаковой конструкции, которую потом можно поместить в учебник и объявить нормой?
Это происходит именно потому, что ученый (В.В. Давыдов) героически стремится к невозможному: построить содержательно-теоретическое математическое понятие. В.В. Давыдов предлагает гениальную мыслительную авантюру: заново выстроить всю математику (или хотя бы существенный ее раздел) так, чтобы это была та же самая математика (например, чтобы в ней были обыкновенные дроби), но при этом все ее понятия были деятельностно обоснованы и поняты как развертывание единой «клеточки», как решение единой задачи. И это никакая не норма научного размышления, которую можно зафиксировать в учебниках, а очень красивая и спорная исследовательская программа. Причем вовсе не с гарантированным позитивным исходом осуществления. Вполне возможно, утопия. Вполне возможно, теоретическая авантюра, порождающая при попытке последовательного и ответственного осуществления глубокие и продуктивные вопросы,«монстры», парадоксы. И эти монстры и парадоксы, «вечные проблемы бытия» возникают не на обочине нормативно обустроенной дороги «восхождения», а как раз в самой сердцевине строящихся теоретических понятий, на самом что ни на есть магистральном (а не маргинальном) пути их построения.
Именно эта авторская исследовательская программа В.В. Давыдова по созданию иной, деятельностно понятой, математики, есть вожделенная «норма» (лучше сказать, форма) взрослой, идеальной жизни, которая может быть положена в основу Развивающего обучения математики. Создание такой «нормы» (идеальной формы) жизни взрослых людей и включение в ее построение и удержание школьников сразу вводит нас в область «вечных» проблем, загадок и парадоксов, которых никогда не старался избегать В.В. Давыдов.
В.В. Давыдов создавал новый культурный опыт обращения с понятиями. Этот опыт не является «анонимным», «ничьим». Это - авторская версия понимания науки в целом, за которую В.В. Давыдов никогда не боялся нести ответственность. И когда Вы, уважаемая Галина Анатольевна, вводите своих первоклассников в мир отдельных звуков, изображаемых метками, а затем - в мир теоретического понятия фонемы, Вы выступаете отнюдь не как носитель и транслятор анонимного, «ничейного» знания, зафиксированного в учебнике. Нет, Вы предлагаете Вашим детям совершить многолетнюю мыслительную авантюру, вооружившись очень красивой, очень привлекательной, но чрезвычайно сомнительной, антиномичной, парадоксальной, спорной версией понимания того, что есть современный русский язык. И это замечательно, что и Вы, и В.В. Давыдов не транслируете детям нормативные знания, а сразу включаете ребят в сложный процесс создания и удержания особого, оригинального, авторского (автор В.В. Давыдов; автор В.В. Репкин) видения предмета познания. Только давайте отдавать себе отчет, что и при звуковом анализе, и при выделении сильных и слабых позиций звуков, и при составлении орфографической тетради происходит именно это, а вовсе не превращение фиксированного в учебниках анонимного нормированного опыта - в индивидуальное достояние ребенка.
Добросовестное осуществление формирования теоретического понятия, тщательная и без купюр реализация исследовательской программы В.В. Давыдова превращает теоретическое понятие - в вариант диалогического понятия, в понятие - проблему, в «вечный вопрос бытия». Без углубления в вечные вопросы бытия теоретическое понятие уже и понятием не является, превращаясь в средство решения задач. Другое дело, что диалогизм нововременных («теоретических») понятий обнаруживается именно в ходе осуществления героической попытки решить возникшую задачу с помощью развития (от абстрактного к конкретному) исходного понятия, без привлечения понятий эмпирического типа. Каждый раз продумывание до конца, до глубины, возможности такого «восхождения», обнаруживает глубинные трудности, странности, парадоксы, «вечные вопросы», загадки, превращающее «теоретическое» понятие - в нововременное диалогическое понятие. Это понятие всегда стремится стать орудием, машиной, средством решения задач, в конечном счете - учебником, совокупностью культурных норм. Но это ему никогда не удается до конца. В явном виде это борение внутри нововременного диалогического понятия реконструировано (или, вернее сказать, сконструировано) Галилео Галилеем в диалоге Сальвиати, Симпличио и Сагредо, и глубоко проанализировано В.С. Библером [Библер, 1975]. Эти же логические процессы мы обнаруживаем в мышлении и деятельности В.В. Давыдова - «последнего гегельянца ХХ века».
- Войдите, чтобы оставлять комментарии