К. Без обсуждения истории формирований понятия числа сложно говорить об отрицательных числах. В этом же и парадокс интереса. Если отрицательные числа возникают на уроке внезапно, как Минерва из головы Юпитера, а не в результате развития понятия, тогда они вообще не возникают. Что значит для понятия возникнуть? Акт возникновения понятия отрицательного числа возможен, когда обнаруживаются новые задачи, которые с помощью предшествующих понятий не решаются. А поскольку у шестиклассников массовой школы не сформировано натуральное число, как теоретическое понятие, а есть только действие счёта предметов, то нам очень сложно содержательно обсуждать возникновение отрицательных чисел в подростковой школе. Чтобы ввести понятие отрицательного числа, нужно несколько лет поработать с понятием натурального числа. С понятием числа как отношением скалярных величин. Поэтому в первом классе по программе В.В. Давыдова перед детьми ставятся очень красивые задачи по воспроизведению скалярных величин, вводится такой объект, как мера - универсальный способ решения этой задачи. Затем возникает основная проблема числа: каким образом построить с помощью одной стандартной меры любые величины данного класса. И оказывается, что эта проблема решается, когда мера кратна величине. Возникают трудности, когда величина меньше меры. Ставится задача на усовершенствование способа воспроизведения, вводится понятие обыкновенной дроби и систематической дроби (в частности десятичной). За пределами начальной школы - очень трудная и интересная ситуация, когда величина и мера не соизмеримы. И тут возникает парадоксальная ситуация. Для того, чтобы получить отрицательное число, нужно радикально изменить исходную задачу. Да, это будет задача воспроизведения величины, но это уже не будут скалярные величины. Оказывается класс величин, которые ребёнок производил в 1-3 классах: длина, площадь и так далее - нужно расширить за счёт величин направленных. Это величины, с помощью которых можно воспроизвести местоположения объекта в пространстве. Необходимо ввести понятие направленной величины и направленной меры.
Г. А как вводятся отрицательные числа в обычной школе?
К. Вводится дорога, а на ней движение вправо и влево. И отождествляется число и величина. Отрицательное число связывается не с отношением величины к мере, а с расположением "слева" и "справа". И если как-то ещё можно разобраться со сложением таких чисел, то умножение их вы уже не введете никак - только формально. Ведь число не есть явление материального мира. Число - идеальный объект, отношение величин. И если вы хотите получить деятельностное понимание числа, при котором разные грани понятия можно развернуть из исходной "клеточки" (это по- настоящему интересно!), то вы не можете сказать, что есть точка, и ей присваивается число (-1). Строится линия. На этой линии возникают направленные величины. Для того, чтобы эти величины воспроизводить, вводится число как отношение величин, как отношение направленной величины к направленной мере.
Г. А почему при традиционном введении отрицательных чисел невозможно неформальное введение их произведения?
К. Чтобы содержательно ввести произведения отрицательных чисел, нужны две вещи. Во-первых само отрицательное число должно выступить как действие, как вид умножения. Что такое 2 умножить на 3? Это означает воспроизвести величину последовательно. Сначала построить мерку - помощник, в два раза больше, чем стандартная мера е, а потом укрупнённую меру взять три раза. Но и само отрицательное число есть умножение! Что такое (-1) или (-5)? Это тоже самое, что (180 градусов; 1) или (180 градусов; 5). А что такое дробь одна вторая? Это тоже своеобразное "умножение". Сначала делим меру на две части и получаем меру - помощницу, а за тем берём одну такую часть. Что такое комплексное число? Это - поверни меру e на определённый угол и повтори её r раз. Любое число есть умножение. Умножение есть отказ работать той мерой, которая дана, и заменой её последовательностью, комплексом мер. И число есть комплекс действий с исходной мерой и отказ от желания воспроизвести величину заданной мерой. Число есть преобразование самого себя. Число, преобразуя самого себя, включает в себя умножение. Это касается и многоразрядного числа, и, конечно, отрицательного числа. Вот у нас есть направленная величина и мера. А мы хотим воспроизвести перемещение ОВ. Как это сделать? С помощью положительных чисел нельзя. Революционный ход здесь - нужно взять меру е и развернуть её на 180 градусов, построить противоположное перемещение (-е). И знак " - " означает действие по созданию меры - помощника.
Г. Вы хотите сказать, что в произведении (-2) умножить на (-3) этот поворот меры нужно выполнить дважды. И поэтому (-2) умножить на (-3) равняется 6.
- Войдите, чтобы оставлять комментарии