Загадка “Что такое счет?” может быть интересной “точкой удивления”(Библер, 1993. с.90), проясняющей предмет математики в 1-4 классах. (Берлянд, 1996). Замкнутость в знаках (сложение, умножение, действия на калькуляторе) преодолевается обращением к счету вещей. Восстанавливается предмет традиционной арифметики.
Идет учебная работа по схеме: на уроках математики нас учили считать. Но, оказывается, мы не знаем, что это такое. Хорошо бы в этом разобраться в 5-м классе.
У. А как еще можно считать?
Д. На бумаге.
Д. Считать вслух.
Д. На калькуляторе.
У. И это все будет счет?
Катя. Нет. Считать на калькуляторе – это не то же, что считать на бумаге.
У. Давайте выясним, что такое считать. Вы все виды счета назвали?
Саша. Считать можно на счетах.
Лада. Считать – это думать.
Очень интересная реплика! Наш ученик, первоклассник Саша Скляревский, выразился еще более радикально: “Число нужно мне, чтобы думать, что такое число”.(Курганов, 2005а, с.120).
У. Это все?
Макс. На пальцах!
Юра. Можно считать некоторые вещи, а можно пересчитывать.
У. А какая разница между тем, чтобы считать и пересчитывать?
Даша. Пересчитывать – это когда проверяешь, как ты посчитал, правильно или нет.
У. В Харьковском университете меня познакомили с кандидатом химических наук, африканцем. Когда ему было 10 лет, он жил в Африке в деревне с бабушкой и пас коров. Рано утром все коровы деревни собирались у ворот. Мальчик стоял у ворот, у него черех плечо была надета сумка, а в руках мальчик держал палку. Бабушка научила мальчика отламывать кусок ветки и бросать его в сумку, когда мимо проходила корова. Корова прошла, мальчик снова отламывал кусок ветки, и когда мимо проходила еще одна корова, мальчик бросал его в сумку. И так мальчик отламывал палочки, пока мимо не проходили все коровы.
Катя. И так он считал?
У. Так он делал. А вот считал ли он?
Наташа. Он проверял.
Юра. А если палочки куда-то подевались?
Саша. А если б сумка куда-то подевалась?
У. Вечером коровы возвращались вместе с пастушком в деревню. Вы можете сами догадаться, что происходило.
Д. Мальчик палочки выбрасывал назад.
У. Да. Проходила корова через ворота, и он выбрасывал из сумки палочку, проходила следующая – выбрасывал палочку. Он считал?
Для углубления диалога учитель воспользовался очень интересным приемом. Он дал развернутое описание счетной операции в иной культуре, отличной от той, в которой учились считать эти пятиклассники.
Вместе с тем процедура счета как установления взаимно однозначного соответствия между двумя множествами (идея количественного числа) и в современной математике взаимодополнительна по отношению к процедуре счета как упорядочивания одной предметной совокупности с помощью слов-числительных: 1, 1+1=2 и т.д. (идея порядкового числа).
Количественное число опирается на пространственные отношения, порядковое число – на временные, вводя ритм счета: чередование единицы (метки) и пустоты. В числе, возникающем из установления соответствия между множествами, порядок элементов не важен.
В порядковом числе в нем вся суть дела: важно выделение первого элемента, следующего за ним, и – последнего, завершающего счет.
Лебег писал: «…я исхожу из числа порядкового. У меня числа становятся количественными лишь тогда, когда высказывается утверждение, что полученный результат не зависит от порядка, в котором был произведен счет предметов». (Лебег, 1938, с.16, см. также Берлянд, 1996, с. 23).
С порядковыми числами привыкли иметь дело пятиклассники, с которыми ведет диалог В.Ф. Литовский. С этой точки зрения на натуральное число и действие счета «при счете или перечислении мы мысленно связываем каждый новый объект рассматриваемой совокупности с каждым из следующих друг за другом слов нашей числовой фразы (или последовательности); последнее произнесенное число указывает на число предметов в совокупности. Это число рассматривается как итог экспериментальной операции перечисления, так как оно является полным отчетом о ней». (Лебег, 1938, с. 15; см. Берлянд И.Е. Загадки числа, с. 15).
Африканский мальчик, счетные процедуры которого анализирует вместе с пятиклассниками В. Ф. Литовский, считает не так, как современные украинские пятиклассники, потому что вовсе не использует идею порядкового числа, что, конечно, странно, вызывает удивление и продуктивное непонимание.
Цитируя А. Френкеля и И. Бар-Хиллела (Френкель, Бар-Хиллел, 1966. с.199), И.Е. Берлянд замечает: «Существует способ определения числа и соответствующая аксиоматика, при которых каждое число определяется само по себе, вне последовательности других чисел и операций – задание натурального числа как класса равномощных конечных множеств. См, например, построение системы натуральных чисел Фреге… Такое построение, по мысли Фреге, не опирается на интуицию счета и числовой последовательности…» (Берлянд,1996, с. 25).
С точки зрения Фреге, африканский мальчик В.Ф. Литовского владеет понятием числа, которое не опирается на интуицию счета и числовой последовательности. Он пользуется натуральным числом в практической деятельности, но не считает. Похоже, что В.Ф. Литовский придерживается точки зрения Фреге, хотя на уроке прямо ее не высказывает.
Мы бы высказались осторожнее: африканский мальчик не владеет понятием порядкового числа, но прекрасно оперирует понятием натурального числа как классом равномощных множеств.
Африканский мальчик не умеет считать, опираясь на интуицию числовой последовательности. Используя число, мальчик не использует идею времени и ритма.
Но, с нашей точки зрения, этот мальчик считает, то есть умеет приводить множества во взаимно однозначное соответствие, может сравнивать мощности конечных множеств, не пересчитывая элементы каждого последовательно и не сопоставляя мощности множеств с числами-числительными.
Он считает, он пользуется числами. Но этот счет не похож на порядковый счет. Так ведь и число мальчика, как и число Фреге, не похоже на порядковое число.
Между мальчиком-африканцем и современными пятиклассниками возможен продуктивный диалог культур (и его обустраивает В.Ф. Литовский) не потому, что мы умеем считать, а мальчик – нет, а поэтому удивительное действие мальчика «остранняет» (по В.Б. Шкловскому) привычное нам понятие счета, требует его точного определения.
Число и счет африканского мальчика потому остранняют число и счет современного пятиклассника, поскольку позволяет решить ту же саму задачу (удостовериться в том, что все коровы вернулись), но логически и культурологически иным способом. Счет мальчика очень странен, но, поскольку позволяет успешно решить ту задачу, которую мы решаем с помощью порядкового числа, это все-таки счет.
Конечно, это одна из возможных позиций в диалоге. Можно придерживаться и точки зрения Фреге. Тогда необходимо развести натуральное число и счет и говорить, что бывают натуральные числа, которые не решают задачу счета.
Наташа. Он пересчитывал.
Даня. Он наверняка знал точное количество палочек. И знал, что количество палочек совпадает с количеством коров.
Поставленная перед младшими подростками проблема очень глубока. Дальнейшее движение урока возможно только в форме диалога культур, в форме диалога двух логик понимания того, что есть число (и счет).
Ребята на уроках математики пользовались порядковым числом. При столкновении с очень странным числом (числом ли?) африканского мальчика представление пятиклассников о порядковом числе оформляется, усиливается и, по сути дела, впервые формируется.
В традиционной начальной школе все дети и учитель находились как бы внутри одного числового мира, который осваивали. Теперь, в пятом классе, ученики и их новый учитель сталкиваются с иным, успешно работающим, пониманием числа.
Решая задачу понимания того, как считает (считает или просто – использует число?) африканский мальчик, пятиклассники могут опереться только на свой опыт работы с числом, на логику упорядочивания множеств с помощью порядкового числа.
Здесь возникает парадокс, отмеченный Л. М. Баткиным: мы понимаем иную культуру, ее понятия, способы работы, ее слова с помощью средств понимания нашей культуры. Но это невозможно: в той культуре, которую мы стараемся понять, эти способы работы, слова, понятия имели иной смысл.
«…Чем полней понимание, то есть чем лучше мы проникаемся глубиной чужого и, следовательно, не подвластного нам сознания, тем больше мы понимаем, что не понимаем «до конца», что как раз это-то немыслимо по определению… Чем больше понимания, тем его отчасти меньше (тем оно менее агрессивно, уверено в себе)… понимание возможно лишь благодаря непониманию…» (Баткин, 1994, с.47). «Ибо я не могу и не должен ни перевоплотиться в «них», ни «перевести» «их» на свой язык (так, чтобы «они» стали уже не они, были присвоены, обрамлены мною, растворены в чуждых для «них» понятиях)… Безрефлективное приложение к далекому автору собственных предвзятых идей – монологическое насилие над ним, глухота к нему – стало быть, и незнание себя (своего отличия от него). Все начинается с установления различия (двух культур), с удивления и с недоразумения». (Там же, с. 53-54).
Артур. Если он ломал палочки, то он…
Даня. Он наделял какими-то признаками эти палочки? Он мог отличить их от любых других?
Артур. А куда он девает сумочку, он с собой ее носит?
У. Да, сумочка все время с ним.
Артур. А вот вдруг упала палка – а он ее не заметил.
Саша. Бросил мимо сумки и не заметил палочки.
Максим (не путать с Максом!). Одна палочка была как одна корова.
У. Даня говорит, что мальчику было известно количество палочек и количество коров. А что ты говоришь?
Максим. Не надо знать количество палочек!
У. Даня, как ты относишься к тому, что говорит Максим?
Даня. Вполне возможно.
У. Является ли то, что делал пастушок, счетом?
Напряженное молчание класса. Дети размышляют.
Макс. Это не будет счетом.
У. Почему?
Макс. Не знаю.
Максим. Он считал: корова-палочка, корова-палочка…
Артур. Когда уходили коровы, он ломал палку: одна, вторая…
У. Одна, вторая?
Артур. Нет, он считал: один, один, один…
Максим. Когда он уходил на луг, он отламывал по палочке: одна корова, одна корова, одна корова…
У. Он говорил: одна корова, одна корова, одна корова?
Максим. Или: корова, корова, корова…
У. Он говорил при этом что-нибудь?
Максим. Нет…
Артур. Он брал палку и ломал: раз корова, раз корова, раз корова…
Саша. Коровы ушли, и одна корова не вернулась. Что тогда? Если коровы вернулись, а в сумке остались палочки, то, значит, не все коровы вернулись!
Юра. Саша имеет в виду, что если корова не вернулась, то он же заметит эту палочку?! Значит, одной коровы нет.
У. Считал ли мальчик коров?
Катя. Он не мог просто бросать палочки, а наверняка говорил: корова, корова, корова…
Наташа. Он мог говорить, а мог и не говорить. Представлял что-нибудь.
Катя. Он отламывал, а дома представлял себе другое – слонов или котов…
Артур. Я хочу сказать свое мнение. Мне кажется, говорил. Он говорил: одна корова. одна корова… Или он представлял себе кошку. И считал – одна кошка, вторая кошка. Так он и считал стадо.
Одни дети приписывают африканскому мальчику действия, которые осмыслены только внутри идеи порядкового числа, которой как раз и не владеет африканский мальчик.
Например, пятиклассникам представляется, что африканский мальчик не мог не произносить слова, аналогичные нашим числительным, что он знал количество палочек в нашем понимании слова «количество». В этом был глубоко убежден Даня. Но диалог Дани и Максима заставляет Даню усомниться и признать, что существует и иная возможность понимания действия африканского мальчика.
Вместе с тем, африканскому мальчику вовсе не обязательно произносить какие-то слова и как-то иначе ритмизировать свой «счет», так как его «счет» вовсе не опирается на идею времени, а эксплуатирует исключительно идею пространства. «Связывая» каждую корову с палочкой, он знает количество коров: их ровно столько же, сколько палочек.
Другие дети стараются понять логику обращения с числом африканского мальчика, начиная - внутри себя – разрабатывать понимание числа как результата сопоставления двух множеств (числа Фреге). Максим утверждает, что африканскому мальчику не надо знать количества палочек. Максим обосновывает свое утверждение так: «Одна палочка была как одна корова». Вот - главная идея счета, не опирающегося на идею ритма и порядкового числа. Максим рискованно называет счетом установление соответствия «корова-палочка, корова-палочка» и полагает, что африканский мальчик считал. Это происходит в диалоге Максима с Максом, который убежден, что африканский мальчик не считал.
Максиму очень нелегко одновременно понимать африканского мальчика и вести диалог с одноклассниками, понимающими этого мальчика существенно иначе.
Характерен микродиалог Артура и Максима. Артур буквально слышит словесный аккомпанемент счетного действия африканского мальчика: «одна, вторая…»; затем (после уточняющего вопроса учителя – уже ближе к числу Фреге, так как убираются числительные, но с сохранением идеи ритма) – «один, один, один…»; затем – с добавлением звукового жеста, изображающего ритм разлома палочки: «раз корова, раз корова, раз корова…».
Максима увлекает эта идея, и вот он уже переходит от связки «корова-палочка» к ритму пересчета: «одна корова, одна корова, одна корова». После двух уточняющих вопросов учителя остается только «корова, корова, корова», а затем Максим снова упрямо утверждает, что вообще никаких слов африканский мальчик не произносил.
Очень интересен и микродиалог Кати, Наташи и Артура. Катя вначале просто соглашается с точкой зрения Артура: пользуясь палочками, африканский мальчик обязательно произносил какие-то слова.
Ей возражает Наташа, вводя идею представления, которое можно иметь, глядя на палочки.
Катя прекрасно слышит Наташу, вступает с ней в диалог-согласие и существенно углубляет ее идею: глядя на отломанные палочки, мальчик мог дома (!) представлять слонов или котов.
Важно, что это происходит дома. Работает идея Лады: «Считать – это думать». Мальчик дома не считает коров. Он просто «считает», то есть думает о числе (Лада, Саша Скляревский), рассматривает свои палочки и делает открытие: они могут задавать и количество коров, и количество котов, и количество слонов. При этом вовсе не важно знать, каким словом – числительным «вот это» количество обозначается.
Так Катя и Наташа иным путем, чем Максим, приходят к пониманию идеи числа, которым действительно пользовался африканский мальчик. Но если Максим говорил о взаимно однозначном соответствии двух множеств, девочки толкуют число африканского мальчика более обобщенно, говоря о бесконечном множестве совокупностей, которые обозначаются одним и тем же «вот этим» числом (Фреге).
Артур их отлично слышит и обогащает свое понимание числа как ритма - идеей Кати и Наташи: говоря «одна, одна, одна», можно иметь в виду что угодно: и коров, и кошек.
Даня. Он мог загибать пальцы. Прошла корова – загнул палец. Прошла другая – загнул палец.
Артур. Извините, если он смотрит на палец, то пропускает корову.
Даня. Артур, ты же знаешь, сколько у тебя пальцев, прошла корова, загибаешь палец, прошла другая – загибаешь следующий палец.
Артур. Загибаешь пальцы – смотреть надо на пальцы, а отламываешь палочку – слышишь треск, смотреть не надо!
У. Народы, которые считают на пальцах, загибая пальцы, обязательно говорят определенные слова.
Артур. А можно спросить, а как считали наши предки?
У. Они ножом делали насечки на палочке и говорили: один рез, два реза… «Рез» – это «раз»…
Артур. А до скольки так можно было считать?
У. Границы счета все время раздвигались. Вот, девять связывают с «невять», то есть «не ведать».
Артур. Не видать.
У. Что же все-таки происходило с мальчиком, коровами и палочками?
Артур. Я вот как раз думал над этим. Мальчик слышал хруст палочек и автоматически бросал палочки.
У. Но счет при этом происходил?
Артур. Счета не было. Но мне кажется, извини, Даня, что он отламывал палочку, и клал палочку около каждой коровы. Построил коров и положил палочки.
Введенная Даней идея загибания пальцев – вместо отламывания палочек усиливают позицию тех детей, которые думают, что африканский мальчик в принципе считал точно так же, как и они, то есть опирался на идеи порядкового числа, только не знал некоторых слов-числительных. Палочки – такие же неподсчитанные вещи, как и коровы (или слоны), а вот сколько у тебя пальцев – ты всегда знаешь.
В этом фрагменте Артур доводит до предела обе идеи числа: порядковое число сводится к последовательности звуков (хруст палочки – тишина – хруст палочки), а «число Фреге» – к расположению коров и палочек в два ряда и приведению взаимно однозначного соответствия рядов.
Так африканский мальчик может постоянно проверять, не изменилось ли у него количество коров, если, конечно, он уверен в неизменности количества палочек.
О том, что в процессе «счета» проблематичным является сохранение эталона количества (множества палочек) время от времени тревожно напоминают Юра, Саша и Артур.
В действиях африканского мальчика обнаруживается несимметричность: он может проверить количество коров по количеству палочек. Но никому в голову не приходит проверить количество палочек по количеству коров. А ведь с палочками тоже может что-то случиться! В том случае, когда на схеме Артура палочки и коровы уложены в два ряда, они как бы проверяют количество друг друга, и симметрия восстанавливается.
Идея времени неявно входит в действие африканского мальчика в реплике Артура: оказывается, техника «счета» мальчика предполагает синхронизацию темпов ухода коров и изготовления новых палочек. Если в результате действий мальчика время снято, то в процессе его «счета» время присутствует.
Введение учителем культурно-исторических реалий усиливает голос лингвиста в диалоге математиков: ритм разрезания, разламывания палочки, нанесение дискретных «ран» на непрерывную величину, фиксируется в слове «рез – раз». Лингвистически обсуждается и очень актуальная для детей проблема самого большого числа («девять – невять - не ведать»).
Саша. А что будет, если корова прошла, он сломал палочку, прошла еще корова – а он не успел сломать палочку?
Даня. А может быть, палочка у него отламывается, когда проходит две коровы.
У. И тогда одна палочка означает две коровы?
Даня. А то и три… С тем же успехом он мог одну взять палочку и на всех коров.
У. Считает ли мальчик? И что такое считать? Вот вы учились 4 года, и не знаете, что такое считать? Я этому удивился. Вы говорите, что умеете считать…
Катя. Считать – это считать цифры: 1+1+1…
Юля. Это то, что мы считаем от начала до конца.
У. А что такое – считать «от начала до конца»?
Юля. Это с начала до конца…цифры называем.
Артур вводит идею времени внутрь техники «счета» африканского мальчика. Саша усиливает эту идею вопросом, а Даня дает блистательное решение проблемы согласования темпов движения коров и откладывания палочек.
Даня вводит представление о скорости откладывания: можно это делать медленно (корова – палочка), а можно – быстрее (корова, корова – палочка). Внутрь числа Фреге вводится идея измерения и мерки (скорости измерения). Если мерка – это «корова, корова», то за одну и ту же единицу времени, за один темп (заданный палочкой) может быть измерено больше коров.
Даня на этом не останавливается, и говорит, что одна палочка может быть взята на всех коров. Это – предельная скорость измерения. Пользование этой скоростью в «коробке передач» измерителя предполагает способность одновременного схватывания пастухом всего стада как единицы.
Идея Дани близка к пониманию того, что любое число есть единица, и при предельной скорости измерения любая величина может быть задана числом «один»: «…сущность каждого числа – это то, что оно единожды, например, сущность шести – не то, что имеется в шести дважды или трижды, а то, что оно есть единожды, ибо шесть есть единожды шесть». (Аристотель, 1976, с. 165-166).
В книге И. Е. Берлянд «Загадки числа» первоклассник Гамма так и говорит: «…когда мы начинаем считать по два, мы два превращаем в один… Два ботинка – в одну пару, четыре – в одну четверку. Мы и по десять считать можем, тогда десять мы превращаем в десяток. Один. Любое число, когда мы его берем, может опять превратиться в единицу, Только более сложно устроенную… В каком-то смысле все числа – единицы». (Берлянд,1996, с. 38).
На наших уроках – диалогах по математике в Красноярской гимназии «Универс» эту идею развивал второклассник Коля Каршок (Берлянд, Курганов, 1993, с.60).
Скорее всего, это понимание числа как законченной, имеющей начало и конец, сущности, имеет в виду Юля, говоря, что считать – это значит считать от начала до конца.
Это понимание счета близко к развиваемому в последних работах В.В. Давыдова: счет как идеальное действие рождается тогда, когда ребенок оказывается способными не пересчитывать, а присчитывать: 4+2 = 6, причем первое слагаемое (4) обозначается особым жестом, выделяющим начало и конец предметной совокупности (Давыдов, Андронов, 1979)
- Войдите, чтобы оставлять комментарии