Урок 1

Учитель. Знаете ли вы, что такое число?
Альфа. Знаем, конечно. Число — это когда считают.
Бета. Мы и считать умеем. Я даже до ста умею считать.
Учитель. Ну, пусть кто-нибудь попробует объяснить мне, что это такое — число.
Гамма. Чисел много. Числа — это один, два, три, четыре...
Дети (хором) ...пять, шесть, семь, восемь, девять... ¹
Учитель. Хватит, хватит! Я вижу, что вы много чисел знаете. А можете вы мне, не называя разных чисел, просто объяснить, что это такое?
Бета. Совсем не называя никаких чисел? Я думаю, что этого нельзя сделать. Вот вы мне можете объяснять, что такое стул, но пока я не увижу ни одного стула, я не пойму, что это такое.
Учитель. Ну, хорошо. Но когда ты уже знаешь, что такое стул, ты можешь про новый стул, который никогда раньше не видел, сказать, что это тоже стул?
Бета. Да, потому что он похож на те стулья, которые я уже раньше видел.
Учитель. Чем похож?
Бета. Тем, что у него тоже есть сидение, ножки, спинка.
Дельта. Он тоже деревянный.
Эта. Это совсем не обязательно, чтобы он был деревянный. Может быть, например, пластмассовый.
Каппа. Стул — это то, на чем сидят. А из чего он сделан — неважно.
Альфа. Да, а число — это то, чем считают. Мы считаем числами: один, два, три... ну и так далее.
Каппа. Я согласен. Число — это то, чем мы считаем. ²
Учитель. Значит, мы теперь знаем, что такое число? Число — это то, чем мы считаем, правильно?
Бета. Я не совсем согласен. Конечно, числа нужны для того, чтобы считать. Без чисел мы бы не смогли считать. Но число — это не совсем то, чем мы считаем. Это то, что получается, когда мы уже посчитали ^*1. Вот вы мне показываете несколько стульев, спрашиваете, сколько их. Я посчитал и говорю: четыре. Четыре — это число.
Каппа. Но как ты посчитал? Ты про себя считал: один, два, три, четыре. Ты числами считал, про каждый стул. А когда посчитал последний стул, сказал: четыре. И то, чем ты считал, и то, что у тебя получилось, когда ты сосчитал, — это числа, и то и другое ³.
Эта. Число четыре так устроено, что у него внутри как бы есть другие числа: один, два, три ^4*2.
Учитель. А другие числа как устроены? В них тоже числа?
Эта. Да, конечно. Например, в числе пять — те же самые числа и еще четыре.
Гамма. А большие числа еще сложнее устроены. В них много чисел.
Дельта. А я не считал: один, два, три, четыре. Я посмотрел на эти стулья и вижу, что их четыре. Сразу увидел, сколько их.
Альфа. Это потому, что ты их быстро про себя посчитал, сам не заметил, как посчитал. Их мало, вот ты и успел посчитать их сразу.
Каппа. И потом, ты уже давно умеешь считать, привык. И считаешь быстро. А вот у меня есть маленький брат, и когда его спрашивают, сколько ему лет, он показывает четыре пальца и их пересчитывает: один, два, три, четыре. И потом говорит: четыре года.
Дельта. А откуда он знает, сколько пальцев показать? Значит, уже заранее было четыре, до того, как он пересчитал.
Альфа. А если бы их было много? Например, сто двадцать восемь? Ведь сто двадцать восемь — это число? Дельта, как ты думаешь? Или число — это только то, что ты сразу видишь, посмотришь и видишь, сколько?
Дельта. Сто двадцать восемь — это тоже число, да.
Альфа. Ну вот. А если бы было сто двадцать восемь стульев, ты ни за что не мог бы увидеть сразу, сколько их, тебе бы обязательно пришлось считать по одному.
Каппа. Значит, мы числами считаем. А сразу можем видеть, сколько, только когда мало предметов. И то потому, что мы их раньше уже считали.
Дельта. Я с вами согласен... но не совсем. Про большие числа я не знаю. А про маленькие... один, два, три, четыре — все-таки они есть до того, как мы их посчитали. Они сразу есть.
Эта. А может быть, взрослые люди, математики, видят все числа так, как мы видим маленькие. Посмотрят на большую кучу предметов и видят: сто двадцать восемь. Или миллион. Сразу видят, не считают.
Гамма (смеется). Ну, этого никак не может быть. Как можно сразу видеть миллион? Это же страшно много.
Эта. Может быть, это для нас много. А для математиков, может быть, нет. Может быть, для них миллион — это как для нас три или четыре ⁵. Вот Каппа рассказывал про своего брата, он маленький, он и четыре пальца не может сразу посчитать, а мы можем. А он считает по одному. Может быть, когда мы вырастем и научимся считать, мы сможем миллион видеть сразу.
Гамма. Ну хорошо, миллион ты увидишь, допустим. А сто миллионов?
Дельта. Давайте спросим у учителя, он как считает миллион — сразу или по одному?
Учитель. Я, конечно, не могу миллион предметов увидеть сразу. Думаю, что и настоящие математики не могут. А вот небольшие совокупности предметов — три, четыре, семь — я тоже, как и Дельта, вижу сразу, не считая.
Дельта. Может быть, большие числа не так устроены, как маленькие? Может быть, бывают разные числа.
Учитель. Возможно. Мы про это еще поговорим обязательно. Но ведь мы все согласны, что большие числа — это тоже числа, правда?
Дети (хором). Конечно, числа.
Учитель. Значит, когда мы объясняем, что такое числа, мы должны их иметь в виду — и большие, и маленькие.
Альфа. А зачем объяснять-то? И так ясно. Ну, мы не можем словами сказать правильно: число — это то-то и то-то. Но считать-то мы все умеем, и будем еще лучше учиться ^*3.
Каппа. Нет, ты не прав, Альфа. Мы можем считать, не понимая, что мы делаем. Даже, может быть, правильно посчитаем. Но чтобы знать, что мы посчитали правильно, надо понимать, что и почему.
Звонок
Альфа. Я не уверен, что обязательно понимать, что такое число, для того, чтобы правильно считать. Есть, наверное, правила, как считать. Их надо знать. Вон машины считают еще лучше людей. А разве они понимают?

________________________

¹ Представление детей о числе здесь выступает как основанное на не­которой интуиции последовательности и ритма, т.е. связано со време­нем. Этот сюжет будет обсуждаться на 16-м уроке. См. также: Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М., 1987, с. 26—27.

² Альфа и Каппа предлагают понимание числа, близкое к понимаю числа в программе по математике развивающего обучения, разработан­ной в школе В. В. Давыдова: число — это способ измерения величин; счет — частный случай измерения, когда измеряемая величина кратна выбранной мере. См.: Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения. М.,1986.

^*1 Настя Быкова, 1 класс.

³ Ср.: «При счете или перечислении мы мысленно связываем каждый новый объект рассматриваемой совокупности с каждым из следующих друг за другом слов нашей числовой фразы (или последовательности); последнее произнесенное число указывает на число предметов в совокуп­ности. Это число рассматривается как итог экспериментальной опера­ции перечисления, так как оно является полным отчетом о ней». — Лебег Г. Об измерении величин. М., 1938, с. 15.

⁴ Ср. идею Эты с построением теории порядкового числа, при кото­ром «каждый член порядкового числа есть порядковое число, и каждое порядковое число представляет класс всех предшествующих порядковых чисел». — Френкель А„ Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966, с. 149.

^*2 Маша Квашенко, 2 класс.

⁵ Про индийского математика Раманужана говорили, что каждое положительное целое число было его личным другом. См. Рецензия на собрание сочинений Раманужана // Литлвуд Дж. Математическая смесь. М., 1990, с. 86 и далее.

^*3 Маша Квашенко, 2 класс.