Урок 3

Учитель. Гамма на прошлом уроке сказал, что человек сначала придумал число один, причем ничего не считая, а сразу увидел, что он один, и сказал: один.
Каппа. И что, разве это было число? Число одно не может быть.
Учитель. Почему число не может быть одно?
Каппа. Потому что одно число — это не число. С ним ничего нельзя делать из того, что мы делаем с числами, — нельзя прибавлять, отнимать, пока оно одно. Нельзя даже пересчитывать предметы. Гамма ведь сам сказал, что это первое «число» не получилось от пересчитывания, а просто сразу человек увидел: один. Пока число одно, оно не число. Должны быть другие числа, чтобы оно стало числом. И нужно, чтобы с этими числами можно было что-то делать, а с одним числом ничего делать нельзя. ⁹
Бета. Один — это действительно какое-то особенное число ¹⁰. С ним вроде бы все можно делать, как и с другими числами, и в то же время оно не такое, как они. Его действительно сразу видно: один.
Учитель. А что это значит, что сразу видно, что предмет один?
Бета. Значит, что рядом с ним ничего нет. И это сразу видно.
Учитель. Ничего нет?
Бета. Ну, наверное, это не обязательно — совсем ничего. Нет такого же предмета. Вот мы, например, говорим: на столе лежит одна ручка. Рядом с ней что-то есть, но нет другой ручки. А так, как Гамма сказал про пустыню, где нет вообще ничего, кроме человека... не знаю, может быть, там действительно число не могло появиться.
Альфа. Я не понимаю, что мы обсуждаем. Мы обсуждаем, как придумали число, как оно появилось, или что оно такое? Это же разные вещи. Может быть, было вначале число один. Мне тоже кажется, что оно какое-то... ну, самое первое, что ли. Но когда уже появились другие числа и люди придумали, как считать, то теперь число один уже ничем не отличается от других. С ним можно все то же самое делать, что и с другими числами.
Дельта. А я согласен с Бетой. Я тоже считаю, что один — не такое число, как все другие. И мне не нужно никаких других предметов, чтобы увидеть, что этот предмет — один. Я вот смотрю на эту ручку и вижу, что она одна. Не думаю о том, что нет другой ручки, а просто вижу, что эта ручка — одна. Вот так же, как вижу, что она красная, так и вижу, что она одна.
Каппа. Я думаю, что ты не прав. Не только про число, но и про цвет. Ты не видел бы, что она красная, если бы не знал, что есть другие цвета. Ребенок новорожденный, наверное, не видит, какого цвета первый предмет, который ему на глаза попался. Когда мы видим предметы разного цвета, мы начинаем их различать. А один цвет — не цвет. Так же как одно число — не число. Число становится числом, только когда рядом есть другие числа.
Гамма. Значит, ты, Каппа, считаешь, что числа могли быть придуманы только сразу все.
Каппа. Да ¹¹.
Дельта. А я не согласен. Не все числа одинаковые, и не все сразу придумали. И с Альфой я не согласен. Альфа говорит, что числа, может быть, придумали не сразу и, может быть, было какое-то первое число, но теперь, когда уже есть много чисел и мы умеем считать, то это неважно, какое из них первое, они уже все для нас одинаковые. А я так не считаю. Я тоже не знаю, какое число придумали вначале. Но все равно, как бы там вначале ни было, они и сейчас остаются разные — числа. И число один и сейчас особенное, не потому, что его, может быть, первым придумали, а потому, что это такое число. Мы считаем-то по одному.
Гамма. А помнишь. Дельта, Альфа показывал, что и по два можно тоже считать.
Дельта. Помню. И ты сам сказал, что тогда эти стулья надо по два расставить. Мы просто двойку превращаем в один. Вот как пара ботинок. Два ботинка, которые подходят друг к другу, — это пара. Одна. И мы считаем по одной паре, а не по два ботинка. И получится не четыре ботинка, а две пары, понимаешь?
Бета. А вот скажи, Дельта, если у меня две ручки и у тебя тоже две, то сколько у нас вместе?
Дельта. Четыре, конечно.
Бета. А как ты посчитал — по одному или по два? Два и два — четыре?
Дельта. Я не знаю... кажется, я действительно посчитал: два и два — четыре.
Альфа. И тебе ведь не было важно, как они расположены? Когда считаешь, это неважно. Можно к твоим ручкам прибавить Бетины, можно наоборот, правда?
Эта. А по-моему, важно. Для меня четыре предмета, чтобы их было четыре, должны быть так расположены:
А не так: • • • •
Альфа. А во втором случае их что, не четыре? Может быть, их станет больше оттого, что мы их переложим?
Эта. Нет, не больше. Но настоящая, правильная четверка должна быть так расположена:
А эта, вторая, какая-то недоделанная, не совсем четверка.
Альфа. А я этого не понимаю. Мне кажется, что число показывает, сколько вещей, а не как они расположены. Число нужно для того, чтобы считать, сколько. А не порядок устанавливать, как они лежат.
Ламбда. Вот смотрите. Эта, когда говорил про фигуру, где четыре предмета правильно расположены, квадратиком, он не сказал: четыре, он сказал: четверка. Значит, это уже не просто какое-то число, а с ним уже что-то сделали, с числом, упорядочили как-то, устроили. Это не четыре, а четверка.
Дельта. Да, причем одна четверка. Я уже про это говорил. Мы можем два превратить в пару, четыре — в четверку.
Бета. Значит, числа есть, когда мы считаем предметы, и тогда они все одинаковые, и есть числа, которые мы как бы рассматриваем сами по себе, и тогда они все разные.
Эта. Да, и когда мы, как Бета сказал, не считаем предметы, а рассматриваем числа, думаем про сами числа, а не про то, сколько предметов и как их сосчитать, то все эти числа разные. Каждое устроено особым образом. Например, так:

Так они выглядят красиво, правильно ¹².
Альфа. Я никак не могу согласиться с тем, что это числа. То, что нарисовал Эта, — фигурки, формы. Красивые, мне они тоже нравятся. Но это не числа. Когда мы имеем дело с числами, когда мы считаем, нам не важно, как там все расположено, как все это выглядит, нам важно только — сколько. Числа не имеют формы ¹³. Их нарисовать нельзя.
Дельта. А по-моему, имеют. Во всяком случае некоторые.
Учитель. Некоторые, Дельта? Не все? А какие, по-твоему?
Гамма. Дельта все время говорит о том, что большие числа и маленькие по-разному устроены. На прошлом уроке он тоже об этом говорил. Может быть, большие числа не имеют формы.
Дельта. Может быть. Может быть, большие числа не имеют формы, может быть, они вообще никак не устроены. Наверное, большие числа — это числа, про которые говорит Альфа: они никак не выглядят, они только говорят нам, сколько: больше или меньше.
Альфа. Да что вы говорите — большие числа, маленькие числа! Никакие числа не имеют формы. А то, что вы рисуете, это не числа, это что-то другое. Вот Ламбда заметил, что вы их даже называете по-другому: не три, четыре, пять и так далее, а тройка, четверка, пятерка. Я предлагаю их так и называть, а нормальные числа, которые мы считаем, называть по-нормальному, как числа: три, четыре, пять.
Эта. А я думаю, что и большие числа, может быть, как-то устроены. Только мы этого не можем видеть. Я согласен с Альфой, что числа нельзя понимать, как Дельта: большие — так, маленькие — иначе. Но, в отличие от Альфы, я считаю, что все числа должны иметь форму, быть как-то устроены. Только у больших чисел, наверное, сложная форма, мы ее не видим, не понимаем.
Учитель. Альфа, скажи, пожалуйста, что ты думаешь по поводу высказывания Беты? Помнишь, он сказал, что когда мы числа используем, чтобы считать предметы, то у них нет формы, а когда мы думаем о самих числах, как бы рассматриваем их сами по себе, то тогда они имеют форму,
Альфа. Я думаю, что мы не можем знать, что такое числа сами по себе. Когда мы используем числа для счета, понятно, что это такое. А что они такое сами по себе, мне непонятно. И непонятно, как это можно знать. И, честно говоря, мне это не очень интересно.
Бета. А мне, наоборот, теперь стало интересно. Я раньше думал, что раз мы умеем считать, то, значит, знаем, что такое число. А теперь... Мы все считаем одинаково, а про число думаем по-разному. И мне интересно теперь, не как считать, а что такое число ¹⁴.
Учитель. Каппа, а ты что думаешь? Ты молчишь, тебе неинтересно?
Каппа. Я думаю.
Учитель. О чем?
Каппа. Я думаю, что такое число.
Звонок

_______________________
⁹ Существует способ определения числа и соответствующая аксиома­тика, при которых каждое число определяется само по себе, вне после­довательности других чисел и операций — задание натурального числа как класса равномощных конечных множеств. См., например, построе­ние системы натуральных чисел Фреге, при котором натуральные чис­ла — кардинальные числа некоторых понятий, причем «кардинальное число понятия F» определяется как сокращение для «объема понятия, равночисленного с понятием F», а предложение «понятие G равночис­ленно с понятием F» рассматривается как сокращение для «существует взаимно однозначное соответствие между объектами, подпадающими под понятие F, и объектами, подпадающими под понятие G». Такое постро­ение, по мысли Фреге, не опирается на интуицию счета и числовой пос­ледовательности и может быть сведено к чисто логическим выражениям и операциям. — См. Френкель А., Бар-Хиллел И. Указ. соч., с. 199. Фреге построил на этом основании и теорию действительных чисел, од­нако «он как раз только что закончил после десятилетней напряженной работы свой главный труд, когда Рассел сообщил ему о своем открытии (антиномий, лежащих в основании теории множеств. — И, Б.). В первой же фразе послесловия Фреге отмечает, что «фундамент его здания поко­леблен Расселом» — См. там же, с. 13.

¹⁰ Слово «число» и понятие числа в классической греческой математи­ке относятся только к натуральным числам, большим чем один. Один является монадой, а не числом. См.: Бурбаки Н. Очерки по истории ма­тематики. М., 1963, с. 147.

¹¹ Исторически, по-видимому, сначала были «придуманы» только на­туральные числа. См.: Бурбаки Н. Указ. соч. Дети под числами имеют в виду именно натуральные.

¹² Идея Эты об оформленных, красивых числах близка к идее фигур­ного числа, развитой в античности. Число понималось не просто как абстракция количества, а как имеющее свое качество. Ср. у Аристотеля: «...числа имеют определенное качество, например числа сложные и про­стирающиеся не только в одном направлении, а такие, подобие кото­рых — плоскость и имеющие объем (сюда относятся числа, единожды и дважды помноженные на себя); и таково вообще то, что входит в сущность чисел помимо количества, ибо сущность каждого числа — это то, что оно единожды, например, сущность шести — не то, что имеется в шести дважды или трижды, а то, что оно есть единожды, ибо шесть есть единожды шесть». — Аристотель. Соч. Т. 1. М., 1976, с. 165—166. (Метафизика, книга V, глава 14). См.: продолжение этой темы на уроках 5, 10, 22—26 и др.

¹³ Альфа считает, говоря словами Аристотеля, что в сущность чисел входит только количество, а не качество.

¹⁴ Спор Альфы и Беты — это спор между «прагматическим» и «тео­ретическим» подходами к числу. Прагматический подход рассматривает число «как определенное благодаря возможности получать его прибли­женные значения и вводить их в вычисления». — Бурбаки Н. Указ. соч., с. 146. В греческой математике, по словам Бурбаки, забота о строгости и теоретические соображения берут верх над нуждами вы­числения.