Урок 4

Учитель. Каппа, ты придумал, что такое число?
Каппа. Да. Число — это то, что можно складывать и отнимать. Может быть, еще какие-нибудь вещи можно делать с числом, мы пока не знаем. Но число — это то, с чем можно делать определенные вещи ^{15 *7}. Если с единицей можно их делать — значит, это число.
Учитель. Значит, ты согласен с Альфой, что не важно, что такое число само по себе, как оно произошло, как оно выглядит, а важно только то, что с ним можно делать?
Каппа. Число и есть само по себе то, с чем можно что-то определенное делать ^{16 *8}. Если с ним нельзя ничего делать, его и нет самого по себе.
Бета. А единица? Ты сам говорил... То говорил, что один — это не число, то говорил, что оно особенное число.
Каппа. Я теперь понял, что если с ним можно делать то, что с другими числами — прибавлять, отнимать, — то это число. Если нет, то это не число.
Гамма. А большие числа и маленькие? Помнишь, все время у нас оказывалось, что они какие-то разные?
Каппа. Не знаю. Если окажется, что с большими числами можно делать все то же самое, что и с маленькими, то тогда это такие же числа. Если нет, то тогда надо будет что-то придумывать. Пока не знаю.
Дельта. А то, что Эта рисовал, как число устроено? Это неважно?
Каппа. Почему не важно? Если Эта покажет, что от того, устроена четверка таким квадратиком, как он нарисовал, или нет, зависит, как ее, например, прибавлять, тогда важно. Если это просто так, для красоты, тогда это, может быть, и важно, но к числу не имеет отношения. Как, например, нам важно, чтобы стул был красивого цвета, но это не имеет отношения к тому, что он стул.
Учитель. Эта, как ты думаешь?
Эта. Я думаю, что эти числа, устроенные, имеющие форму, они и складываются не так, как те, о которых Альфа говорил. Я думаю, что от того, как устроено число, зависит и то, что с ним можно делать. Мы пока ведь мало знаем о том, что можно делать с числами. Я буду думать над этим.
Учитель. Мне нравится определение Каппы. Не потому, что я с ним согласен, а потому, что из этого определения понятно, над чем нам с вами надо думать дальше, когда мы занимаемся числами; понятно, что надо знать для того, чтобы решить, число или нет, например, единица или очень большие числа, о которых говорит Дельта. Мы с этим определением можем не просто согласиться или нет просто так, потому что оно нам нравится или не нравится, а можем с ним спорить или уточнять его.
Гамма. Я хочу с ним поспорить. Мне кажется, что когда мы определяем, что такое число, нам важно не только что мы можем с ним делать. Я считаю, что важно и как оно получилось ^*9.
Учитель. Да, это важно. Но что ты имеешь в виду? Как люди придумали первые числа? Или одно число?
Гамма. Нет, не только это. Даже сейчас, когда уже числа есть, они давно придуманы, они все-таки как-то появляются ^*10.
Альфа. Как это — они уже есть и они как-то появляются? Как это может быть, не понимаю?
Гамма. Ну, они где-то там есть...
Альфа. Где это?
Эта. Ну, в математике ¹⁷ .
Гамма. А когда мы думаем, что это такое, они для нас появляются.
Каппа. И как они появляются?
Гамма. Я думаю, они появляются из единицы. Единица самая первая ^*11.
Бета. Как же они появляются?
Гамма. А так: один и один — два; два и один — три; три и один — четыре. И так далее ^*12.
Каппа. Значит, единица все-таки не число? По моему определению, один — это число. Но, честно говоря, я вначале сомневался.
Гамма. Один — это число. Это, наоборот, самое первое, самое главное число. Из него все числа получаются ¹⁸ . Один — это самое-самое числовое число, гораздо числее, чем, например, половина ^*13.
Дельта. Чем половина — это я понимаю. Половина не совсем настоящее число, оно потом появляется, когда единицу делим. А вот числа два, три, четыре — они, кажется, такие же числа, как и один, такие же «числовые» числа. Они сразу появляются, вместе с единицей ¹⁹ .
Гамма. Нет, они все появляются из единицы. И два, и другие. И потом обратно исчезают в единицу.
Дельта. Как это — обратно исчезают?
Гамма. Ну, помнишь, ты сам говорил, что когда мы начинаем считать по два, мы два превращаем в один. Помнишь, два ботинка — в одну пару, четыре — в одну четверку. Мы и по десять считать можем, тогда десять мы превращаем в десяток. Один. Любое число, когда мы его берем, может опять превратиться в единицу. Только более сложно устроенную.
Альфа. И что, все числа, по-твоему, не только получаются из единицы, но и сами могут быть единицами?
Гамма. Да, в каком-то смысле, все числа — единицы ^*14.
Альфа. И что, тогда все единицы разные? Например, единица-двойка меньше единицы-четверки?
Гамма. Это не важно. Когда мы рассматриваем одно число само по себе, то не важно, больше оно другого или меньше ^*15.
Учитель. Гамма, а ты согласен с Этой, что все числа по-разному устроены?
Гамма. Мне вообще-то кажется, что это так, что все числа по-разному устроены. Но я не могу пока понять, как в таком случае они все появились из единицы. А я считаю, что это так. Я над этим буду думать.
Учитель. Значит, мы имеем два способа понимать число. Каппа считает, что число — это то, с чем можно делать определенные операции: прибавлять, отнимать и т.д. Гамма считает, что число — это то, что появляется из единицы, а сама единица — это первое, самое главное число.
Бета. Единица — это все-таки какое-то особенное число. Даже для определения Каппы важно, чтобы оно подходило и к единице тоже. Мы единицей как бы проверяем разные определения, даже те, в которых получается, что единица — такое же число, как и остальные.
Звонок

____________________
¹⁵ Ср.: «Я не буду чувствовать себя вероотступником, если, обращаясь к ученикам, окончившим среднюю школу, буду придерживаться более абстрактного изложения: числа суть символы, для которых установле­ны две операции — сложение и умножение». — Лебег Г. Указ. соч., с. 21.

^*7 Петя Филатов, 2 класс.

¹⁶ Каппа высказывает предположение (и в дальнейшем будет держать­ся именно этого подхода), близкое одной из тенденций в логическом обосновании теории числа, восходящей к Лейбницу и особенно четко проведенно!" Гильбертом в работе «Об основах логики и арифметики» в 1904 г. Этот подход излагается Ф. Клейном следующим образом: «Ис­ходная точка заключается здесь в следующем. Если мы уже располага­ем одиннадцатью законами счета, то мы можем вести счет в буквах а, b, с, выражающих любые числа, совершенно не считаясь с тем значением, которое таковые имеют как числа. Или яснее: пусть а, b, с будут вещи без всякого значения, вернее вещи, о значении которых нам ничего не известно. Положим также, что нам все же известно, что над ними мож­но производить операции согласно перечисленным одиннадцати положе­ниям, хотя бы эти операции не имели какого-либо известного нам содер­жания; тогда мы можем оперировать с этими объектами совершенно так же, как и с обыкновенными числами, но при этом возникает только во­прос, не могут ли эти операции когда-либо привести к противоречию... ссылка на наглядное представление уже недопустима... Если мы внача­ле, при изложении первой точки зрения (которая выводит правила дей­ствия с числами непосредственно из созерцания; среди наших учеников к ней наиболее близок Альфа и отчасти Дельта. — И. Б.), сказали, что достоверность математики покоится на существовании наглядных объек­тов, для которых имеют место ее законы, то представитель настоящей формальной точки зрения усматривает достоверность математики в том, что основные ее законы с чисто формальной точки зрения, независимо от их наглядного содержания, представляют логически цельную систе­му, не содержащую противоречия». — Клейн Ф. Указ. соч., с. 30 (См.: также статьи «Арифметика» и «Арифметика формальная» // Ма­тематическая энциклопедия. Т. 1. М., 1977.) Клейн, однако, дальше пишет: «Попытка совершенно изгнать содержание и удержать только логическое исследование представляется мне в полной мере неосущес­твимой. Некоторый остаток, некоторый минимум интуиции всегда до­лжен сохраниться, и эти остаточные интуитивные представления мы необходимо должны соединить с символами, с которыми оперируем... Совершенно невозможно чисто логическим путем показать, что законы, в которых мы обнаружили отсутствие логического противоречия, дей­ствительно имеют силу по отношению к числам, столь хорошо нам из­вестным эмпирически, что неопределенные объекты, о которых здесь идет речь, могут быть отождествлены с реальными числами, а выклад­ки, которые мы над ними производили, — с реальными эмпирическими процессами». — Клейн Ф. Там же, с. 31.
Дельта и Эта, отчасти и Альфа, исходят из представлений, близких к тем, которые легли в основу интуиционизма. Об отношениях Л. Э. Я. Брауэра и формализма Д. Гильберта в вопросах и трудностях обоснования теории числа см., например, статью «Интуиционизм» // Математическая энциклопедия. Т. 2. М., 1979, с. 633; Френкель А; Бар-Хиллел И. Указ. соч.

^*8 Петя Филатов, 2 класс.

^*9 Катя Квашенко, 1 класс.

^*10 Маша Романова, 1 класс.

¹⁷ Вопрос о том, «где существуют числа» (ср. «третий мир» Поппера) станет предметом дискуссии позже.

^*11 Катя Квашенко, 1 класс.

^*12 Катя Квашенко, 1 класс.

¹⁸ Ср., например: «...число — рассудочная сущность, изготовленная (fabricatum) нашей способностью сравнительного различения, обязатель­но предполагает в качестве своего первоначала единицу, без которой чис­ло невозможно» — Кузанский Н. Указ. соч., М. 1979, т. 1, с. 57 (Об ученом незнании, книга I, глава 5).

^*13 Катя Квашенко, 1 класс.

¹⁹ Ср. высказывание Л. Кронекера о том, что «только целые числа созданы Богом, все остальные —дело рук человеческих». См.: об инту­иции целого числа: Френкель А., Бар-Хиллел И. Указ. соч., с. 292— 308. Ср.: также: «...натуральные числа и после создания более широкой концепции действительного числа сохраняют всю свою самостоятель­ность. Им посвящена обширная наука — теория чисел — со своими своеобразными проблемами». — Колмогоров А. Н. Предисловие к указ. кн. Г. Лебега, с. 4. См.: также: Клейн Ф. Указ. соч., с. 57 и далее.

^*14 Коля Каршок, 2 класс.

^*15 Коля Каршок, 2 класс.