Урок 6

Учитель. Ну вот, теперь вы умеете писать арабские цифры. Правда, не у всех еще получается красиво, аккуратно, но мы еще будем тренироваться. А теперь я расскажу, как записывать с помощью этих цифр числа.
Гамма. Это ясно: число один — цифрой 1, число два — цифрой 2, ну и так далее.
Дельта. А число пятнадцать? Ведь нет такой цифры.
Учитель. А число пятнадцать мы тоже сейчас запишем. Вот, помните, Альфа говорил, что можно считать не единицами, а двойками, четверками? А чтобы записывать большие цифры, их считают десятками. Десять — это один десяток.
Бета. И его что, записывают цифрой 1, так же как и единицу?
Учитель. Да, его записывают цифрой 1, как и единицу. Но надо еще что-то придумать, чтобы нельзя было десяток спутать с единицей.
Бета. Можно цифру 1, которая обозначает десяток, писать большую.
Учитель. Можно. Тогда как мы запишем первые десять чисел?
Бета. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1.
Учитель. А дальше? Одиннадцать, двенадцать, тринадцать?
Бета. Не знаю. Еще большую единицу, что ли? Одну одиннадцатку?
Каппа. Тогда дальше все числа будут записываться единицами, только разных размеров? Будет много разных единиц, как Гамма говорил?
Гамма. Тогда и получится, что для каждого числа своя цифра. Они будут все единицы, только разных размеров. Тогда для очень больших чисел нам листа не хватит, такая огромная должна быть единица.
Учитель. А давайте попробуем по-другому. Число одиннадцать из чего состоит? Из десятка и единицы, верно?
Бета. Я понял. Одиннадцать можно записать так: 11 Большая единица — это один десяток, а маленькая — это просто один, единица. Десять и один — одиннадцать.
Учитель. А дальше?
Каппа. Дальше можно так: двенадцать — это один десяток и две единицы, 12, тринадцать — один десяток и три единицы, 13, четырнадцать — один десяток и четыре единицы, 14, ну и так далее.
Учитель. А девятнадцать?
Каппа. Один десяток и девять единиц, 19.
Учитель. А двадцать?
Каппа. Один десяток и десять?
Бета. А цифры десять-то нет?
Каппа. Понял, двадцать — это десяток и еще десяток, две большие единицы, 11.
Бета. А по-моему, лучше по-другому. Можно два десятка записывать одной большой двойкой. Так же, как мы единицы записываем. Мы ведь две единицы записываем двойкой, а не двумя единицами.
Каппа. Да, два десятка — двойкой, только большой, 2, потому что это два десятка, а не просто две единицы.
Учитель. Вот теперь мы можем записывать числа:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 11, 12, 13, 14, 15,16,17, 18, 19, 2, 21, 22. И так далее.
Дельта. А дальше? Совсем большие числа?
Учитель. Совсем большие числа мы позже научимся записывать ²¹. А вот с этими числами, которые мы уже научились записывать, есть еще одна сложность. Вот смотрите, если я сотру все, что мы записывали, и запишу цифру 1 , это какое число?
Альфа. Один.
Гамма. Нет, это десять. Это большая единица.
Альфа. Да, вроде она побольше, чем та, маленькая единица.
Бета. Но, она поменьше, чем та единица, которой записывается десяток.
Учитель. Вот чтобы не было таких неясностей, нужно что-то придумать. Когда мы пишем двенадцать, 12, ясно, что первая единица обозначает десяток.
Альфа. Да, потому что она больше двойки.
Учитель. А еще по чему-нибудь мы можем догадаться, что она обозначает десяток, а не единицу?
Каппа. По тому, что она стоит перед двойкой. Двойка обозначает две единицы, значит, эта, первая, обозначает десяток. Если бы это была тоже единица, мы бы записали 3. А раз эта единица стоит перед двойкой, значит, она обозначает десяток.
Учитель. Верно. У нас получается, что цифра, которая стоит на первом месте, обозначает десятки, а цифра, которая стоит на втором месте, обозначает единицы. Мы можем записывать так. Для каждого числа рисовать две клеточки. В первой клеточке писать, сколько десятков, во второй — сколько единиц. Тогда не нужно будет выяснять, большая цифра записана или маленькая, это будет ясно из того, в какой клеточке стоит эта цифра. Например, число двадцать пять как мы запишем?
Альфа. В первой клеточке два, два десятка, во второй — пять, пять единиц.
Учитель. А число десять?
Эта. В первой клеточке один, один десяток, а во второй — ничего нет. Потому что один десяток — это и есть десять, единицы не нужны ²².

Учитель. А это какое число?
Гамма. Это семь. В первой клеточке нет никаких десятков, а во второй — семь единиц.
Учитель. А это какое число?
Эта. Это два.
Каппа. Ты что, какое же это два! Двойка записана в первой клеточке, значит, это два десятка. А единиц нет. Это двадцать.
Учитель. Ну вот, теперь мы можем числа читать и записывать.
Дельта. Не все. Очень большие так и не научились.
Учитель. Да, очень большие числа мы так и не научились пока записывать. Но и с теми числами, которые мы умеем записывать, можно уже многое делать.
Эта. Наша запись похожа на то, что говорил Дельта про числа. Помните, он говорил, что когда мы считаем по два, мы два ботинка превращаем в одну пару? И еще Гамма говорил, что когда мы считаем по десять, мы десять превращаем в один. Один десяток. Гамма говорил, помните, что все числа могут превращаться в единицу. Вот в нашей записи так и получилось. Мы десять единиц превратили в один десяток, в единицу, и эту новую единицу записали в первой клеточке, чтобы не спутать с простой единицей. Так что мы все-таки как-то устраиваем числа, превращаем их, а не просто записываем. Двадцать один — по нашей записи видно, что оно состоит из двух десятков и единицы. Значит, это тоже не просто обозначение чисел, а какое-то понимание про их устройство.
Ламбда. А я заметил, что мы и говорим так, как будто числа устроены десятками. Смотрите: пятьдесят, шестьдесят — пять десятков, шесть десятков. И пятнадцать — тут слышно пять, пять единиц, а вот десятка тут не слышно.
Учитель. Пятнадцать — это пять на десять, -дцать — это десять. Пятнадцать — это пять единиц на десяток, то есть после десятка.
Ламбда. Да. Одиннадцать — это единица на десяток, двенадцать — это две единицы на десяток, семнадцать — семь на десяток.
Учитель. Да, и записываем, и называем мы числа так, как будто они устроены десятками. Попробуйте дома записать числа — кто сколько сможет, как мы сегодня научились.
Звонок

____________________
²¹ Для того, чтобы записывать «совсем большие», многоразрядные числа, необходимо понятие умножения. Удержать же детей от желания записать числа в пределах двух-трех, которые они, как правило, уже умеют называть, сложно. Поэтому мы осваиваем запись 20-30 чисел.

²² Мы воздерживаемся от введения цифры «0», чтобы задержать неизбежную дискуссию о том, число ли «0» или нет, до того как будут освоены операции сложения и вычитания.